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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Ich verstehe die Symmetrie des Laplace-Operators nicht, bzw. den Beweis dazu.
f,g [mm] \in C^2_c (\IR^n) [/mm] (2mal stetig differenzierbare Funktionen mit kompakte träger.
<f,g> := [mm] \int_{ \IR^n} [/mm] f(x) g(x) dx
< [mm] \Delta [/mm] f , g > = [mm] \int_{ \IR^n} [/mm] g [mm] \nabla [/mm] . [mm] (\nabla [/mm] f) dx = - [mm] \int_{ \IR^n} \nabla [/mm] f . [mm] \nabla [/mm] g dx = [mm] \int_{ \IR^n} [/mm] f [mm] \Delta [/mm] g dx = < f , [mm] \Delta [/mm] g> |
Hallo
ich verstehe: < [mm] \Delta [/mm] f , g > = [mm] \int_{\IR^n} [/mm] g [mm] \nabla [/mm] . [mm] (\nabla [/mm] f) dx
diese Gleichung nicht (da f und g vertauscht wurden) sowie:
- [mm] \int_{\IR^n} \nabla [/mm] f . [mm] \nabla [/mm] g dx = [mm] \int_{\IR^n} [/mm] f [mm] \Delta [/mm] g dx
Gleichung nicht. (wie hat man das - wegbekommen?)
Vlt kennt sich da wer aus ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich verstehe die Symmetrie des Laplace-Operators nicht,
> bzw. den Beweis dazu.
> f,g [mm]\in C^2_c (\IR^n)[/mm] (2mal stetig differenzierbare
> Funktionen mit kompakte träger.
> <f,g> := [mm]\int_{ \IR^n}[/mm] f(x) g(x) dx
> < [mm]\Delta[/mm] f , g > = [mm]\int_{ \IR^n}[/mm] g [mm]\nabla[/mm] . [mm](\nabla[/mm] f) dx
> = - [mm]\int_{ \IR^n} \nabla[/mm] f . [mm]\nabla[/mm] g dx = [mm]\int_{ \IR^n}[/mm] f
> [mm]\Delta[/mm] g dx = < f , [mm]\Delta[/mm] g>
> Hallo
> ich verstehe: < [mm]\Delta[/mm] f , g > = [mm]\int_{\IR^n}[/mm] g [mm]\nabla[/mm] .
> [mm](\nabla[/mm] f) dx
> diese Gleichung nicht (da f und g vertauscht wurden)
> sowie:
> - [mm]\int_{\IR^n} \nabla[/mm] f . [mm]\nabla[/mm] g dx = [mm]\int_{\IR^n}[/mm] f
> [mm]\Delta[/mm] g dx
> Gleichung nicht. (wie hat man das - wegbekommen?)
Partielle Integration: Bei Integration über ein endliches Volumen V gilt:
[mm] \integral_V u\nabla v dx = - \integral_V (\nabla u) v dx + \integral_{\partial V} uv dO [/mm],
wobei das letzte Integral über die Oberfläche des Volumens geht.
Wenn u und v kompakten Träger haben und das Integrationsvolumen größer als die Vereinigung beider Träger ist, dann verschwindet uv auf der Randfläche, und es gilt:
[mm] \integral u\nabla v dx = - \integral (\nabla u) v dx [/mm] .
Setze einmal $u=g$ und [mm] $v=\nabla [/mm] f$, und im nächsten Schritt [mm] $u=\nabla [/mm] f$ und [mm] $v=\nabla [/mm] g$.
Viele Grüße
Rainer
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