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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Mo 04.08.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega\subset\IR^{d}$ [/mm] eine Gebiet mit [mm] $d\in\IN$
[/mm]
[mm] A\,:=\,-\triangle:\;L^2(\Omega)\supset\D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\;\text{mit}\; u(x)\longmapsto -\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}(x) [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe zwei kurze Verständnisfragen.
1) Liege ich richtig mit der Annahme, dass der Laplace-Operator ein auf [mm] $L^2(\Omega)$ [/mm] unbeschränkter (und damit weder ein stetiger noch ein kompakter Operator) ist?
2) Liege ich richtig damit, dass der Laplace-Operator auf dem "richtigen" Definitionsbereich [mm] $H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)$ [/mm] ein beschränkter (und damit stetiger und kompakter) Operator ist?
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, hat keiner eine Ahnung was die Beschränktheit des Laplace-Operators anbelangt? Also meine Idee:
zu 1)
Also ich denke, dass der Laplace-Operator auf [mm] $L^2(\Omega)$ [/mm] unbeschränkt ist. Ein leichtes Gegenbeispiel sollte die folgende Funktion
sein:
[mm] $f(x)=e^{-kx}\in L^2(\Omega)$ [/mm] für [mm] ($k\in\IN$)
[/mm]
Sie ist zum einen quadratintegrabel, d.h. sie liegt in [mm] $L^2(\Omega)$, [/mm] und lässt sich für jedes feste [mm] $k\in\IN$ [/mm] abschätzen durch
[mm] $\Vert{Af}\Vert_{L^2}=k\cdot\Vert{f}\Vert_{L^2}\quad\forall\,k\in\IN$
[/mm]
Damit finden wir aber keine Konstante $C>0$ mit [mm] $\Vert{Af}\Vert_{L^2}\leqslant C\cdot\Vert{f}\Vert_{L^2}\quad\forall\,f\in L^2(\Omega)$ [/mm] und somit ist der Operator $A$ auf [mm] $L^2(\Omega)$ [/mm] unbeschränkt.
zu 2)
Zum anderen entspricht [mm] $\Vert{Af}\Vert_{L^2}$ [/mm] etwa [mm] $\vert{f}\vert_{H^2}$. [/mm] Somit gilt
[mm] $\Vert{Af}\Vert_{L^2}\,\leqslant\,C\cdot\Vert{f}\Vert_{H^2}\quad\forall\,f\in H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)$
[/mm]
trivialerweise.
Hat irgendjemand Einwände?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Fr 08.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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