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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Langrange'schen Multiplikatore
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Langrange'schen Multiplikatore: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Mi 14.01.2009
Autor: cleaner1

Aufgabe
Untersuchen sie die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y} [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 0,  y [mm] \not= [/mm] 0. Führen Sie unter der Nebenbedingung [mm] \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}=\bruch{1}{a^2} [/mm] mit a=const. [mm] \not= [/mm] 0 bei Verwenung der Langrange'schen Multiplikatoren eine Extremwetbestimmung durch. Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.

Ich habe wieder mal ein Problem ;-) aber ich denke für euch ist es bestimmt wiedermal kein Problem.

Ich schreibe meine bisherige Lösung auf.

[mm] f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y} [/mm]
[mm] g(x,y)=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2} [/mm]

Langrange

[mm] h(x,y,a,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] * g(x,y)

[mm] hx=-x^{-2}+2x{-3}*\lambda [/mm]
[mm] hy=-y^{-2}+2y{-3}*\lambda [/mm]
[mm] ha=2a^{-3}*\lambda [/mm]
[mm] h\lambda=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2} [/mm]

dann stelle ich die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] umstelle bekomme ich
[mm] \lambda=\bruch{x^{-2}}{-2x^{-3}}=\bruch{1}{-2x} [/mm]


aber das bringt mich alles nicht weiter vielleicht hat ja jemand einen tipp oder ich habe vielleicht schon vorher einen fehler gemacht.

        
Bezug
Langrange'schen Multiplikatore: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mi 14.01.2009
Autor: HJKweseleit


> Untersuchen sie die Funktion
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] 0,  y [mm]\not=[/mm] 0.
> Führen Sie unter der Nebenbedingung
> [mm]\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}=\bruch{1}{a^2}[/mm] mit a=const.
> [mm]\not=[/mm] 0 bei Verwenung der Langrange'schen Multiplikatoren
> eine Extremwetbestimmung durch. Vereinfachen Sie das
> Ergebnis soweit wie möglich.
>  
> Ich habe wieder mal ein Problem ;-) aber ich denke für euch
> ist es bestimmt wiedermal kein Problem.
>  
> Ich schreibe meine bisherige Lösung auf.
>  
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}[/mm]
>  [mm]g(x,y)=\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}[/mm]
>  
> Langrange
>  
> [mm]h(x,y,a,\lambda)=f(x,y)+\lambda[/mm] * g(x,y)

  
  [mm]h_x=-x^{-2}\red{-}2x^{-3}*\lambda\red{=0}[/mm]
  [mm]h_y=-y^{-2}\red{-}2y^{-3}*\lambda\red{=0}[/mm]
  


> dann stelle ich die erste Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] umstelle
> bekomme ich

  [mm] \red{\lambda=\bruch{-x}{2}} [/mm] und [mm] \red{\lambda=\bruch{-y}{2}} [/mm] und somit [mm] \red{x = y}. [/mm]

Das in die Nebenbedingung eingesetzt gibt
[mm]\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{x^2}=\bruch{2}{x^2}=\bruch{1}{a^2}[/mm] und damit [mm] x=y=a\wurzel{2} [/mm]




Bezug
                
Bezug
Langrange'schen Multiplikatore: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Mi 14.01.2009
Autor: cleaner1

Oh vielen dank schon mal. Da habe ich beim abschreiben der Gleichungen ja auch noch ein paar Fehler gemacht, aber vor allem beim umstellen nach [mm] \lambda. [/mm]

Ich habe es aber noch nicht ganz kapiert wie das geht magst du mir das vielleicht einmal erklären wie ich das richtig umstelle?

Bezug
                        
Bezug
Langrange'schen Multiplikatore: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Mi 14.01.2009
Autor: Martinius

Hallo,

deine Lagrange-Funktion war nicht richtig. a ist keine Variable. Und dann hattest Du noch falsch abgeleitet.

[mm] $L(x,y,\lambda)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}+\lambda*\left( \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}-\bruch{1}{a^2}\right)$ [/mm]

Nun leite 3 mal partiell ab und setze da Ergebnis gleich Null:

[mm] L_x [/mm] = ... = 0

[mm] L_y [/mm] = ... = 0

[mm] L_{\lambda} [/mm] = ... = 0

Aus den ersten 2 Ableitungen bastelst Du eine neue Gleichung, indem Du [mm] \lambda [/mm] sobald als möglich elimierst.

[mm] \lambda [/mm] wird nicht mehr benötigt.

Dann schaust Du, was dir diese Gleichung in Zusammenhang mit der Nebenbedingung (3. partielle Ableitung) sagt.


LG, Martinius



Bezug
                                
Bezug
Langrange'schen Multiplikatore: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:51 Mi 14.01.2009
Autor: cleaner1

Danke ich werde es morgen in neuer frische mal durchrechnen! Ich melde mich dann wieder wenn ich ein Problem bekomme.

Bezug
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