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Landau symbole: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mi 23.03.2011
Autor: Erstie

Aufgabe
Beweisen Sie die folgenden asymptotischen Aussagen:
[mm] \wurzel{1+x^2}=x+O(1/x) [/mm] für [mm] x->\infty [/mm]

Hallo,

ich würde gerne wissen wie man dieses zeigen bzw. widerlegen könnte.

Bisher haben wir solche Aufgaben nach dieser Art gelöst: (die rechte Seite durch die linke dividiert)

bsp: [mm] n^2 =o(n^3) [/mm]
-->   [mm] n^2/n^3 [/mm] = 1/n --> Nullfolge --> Behauptung ist korrekt

Vielen Dank schonmal im Voraus


        
Bezug
Landau symbole: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mi 23.03.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> Bisher haben wir solche Aufgaben nach dieser Art gelöst:
> (die rechte Seite durch die linke dividiert)
>  
> bsp: [mm]n^2 =o(n^3)[/mm]
>  -->   [mm]n^2/n^3[/mm] = 1/n --> Nullfolge -->

> Behauptung ist korrekt

Ja, für das kleine o muss das eine NF sein, für das große O aber nicht!

Du sollst ja zeigen:
$ [mm] \wurzel{1+x^2}-x=O(1/x)$ [/mm]

Du musst also zeigen, dass gilt:

[mm] $\limsup_{x\to\infty} \bruch{\wurzel{1+x^2}-x}{\bruch{1}{x}} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Landau symbole: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Mi 23.03.2011
Autor: Erstie

Vielen Dank =)

Jetzt weiß ich wie das geht.

Gruß Erstie

Bezug
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