Landau Symbol < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 06.02.2019 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Definition des Landausymbols gefunden:
f(x) [mm] \in [/mm] O(g) für x [mm] \to [/mm] a: [mm] \exists [/mm] C >0 [mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x in der Epsilon-Umgebung von a gilt: |f(x)| <= C*|g(x)|
Ich habe nun die Frage, ob diese Definition eigentlich sinnvoll ist für a = 2 bei den Funktionen f(x) = 2x und g(x) = [mm] e^x. [/mm]
Wenn ich [mm] \epsilon [/mm] = 0,5 wähle, finde ich definitiv eine Konstante C, so dass
im Intervall [1,5 ; 2,5] sowohl gilt: |f(x)| <= C * |g(x)| und eine Konstante C'
mit |g(x)| <= C'*|f(x)|
Dann würde also gelten [mm] e^x \in [/mm] O(2x) und 2x [mm] \in O(e^x), [/mm] was meines Erachtens nach nicht sinnvoll ist.
Oder ist das Landau-Symbol nur sinnvoll anzuwenden für Fälle wie z.B. a = [mm] \infty [/mm] ?
Vielen Dank für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:20 Do 07.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich habe folgende Definition des Landausymbols gefunden:
> f(x) [mm]\in[/mm] O(g) für x [mm]\to[/mm] a: [mm]\exists[/mm] C >0 [mm]\exists \epsilon[/mm]
> > 0 [mm]\forall[/mm] x in der Epsilon-Umgebung von a gilt: |f(x)| <=
> C*|g(x)|
Das bedeute grob : f/g ist in der Nähe von a beschränkt.
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> Ich habe nun die Frage, ob diese Definition eigentlich
> sinnvoll ist für a = 2 bei den Funktionen f(x) = 2x und
> g(x) = [mm]e^x.[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\epsilon[/mm] = 0,5 wähle, finde ich definitiv eine
> Konstante C, so dass
> im Intervall [1,5 ; 2,5] sowohl gilt: |f(x)| <= C * |g(x)|
> und eine Konstante C'
> mit |g(x)| <= C'*|f(x)|
>
> Dann würde also gelten [mm]e^x \in[/mm] O(2x) und 2x [mm]\in O(e^x),[/mm]
> was meines Erachtens nach nicht sinnvoll ist.
Und warum ist das in Deinen Augen nicht sinnvoll? Ich sehe da kein Problem. ln der Nähe von 2 sind die Quotienten f/g und g/f einwandfrei beschränkt.
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> Oder ist das Landau-Symbol nur sinnvoll anzuwenden für
> Fälle wie z.B. a = [mm]\infty[/mm] ?
Auch für a [mm] \in [/mm] IR ist Landau sinnvoll.
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> Vielen Dank für eure Antworten.
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> Viele Grüße
> Rubi
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