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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 So 06.07.2008 | | Autor: | Sahne |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und q>0. Zeigen Sie unter Verwendung des Satzes über die Lagrangemultiplikatoren, dass für alle [mm] x_{1},...,x_{n} \in (0,\infty) [/mm] mit [mm] x_{1} \cdots x_{n} [/mm] = [mm] q^{n} [/mm]
[mm] (1+x_{1}) \cdots (1+x_{n}) \ge (1+q)^{n} [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
also zu der Aufgabe denke ich mir, dass der rechte Teil der Ungleichung das Minimum einer Funktion f (ich bin mir aber nicht sicher wie diese Funktion lautet) ist. Ich müsste also nur eine Funktion f und die dazugehörige Nebenbedingung aus der Aufgabenstellung entziffern. Und da liegt dann eben mein Problem :)
Vielleicht könntet ihr mir in diese Richtung einen Tipp geben. Vielen Dank schon mal.
Susanne
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> Seien n [mm]\in \IN[/mm] und q>0. Zeigen Sie unter Verwendung des
> Satzes über die Lagrangemultiplikatoren, dass für alle
> [mm]x_{1},...,x_{n} \in (0,\infty)[/mm] mit [mm]x_{1} \cdots x_{n}[/mm] =
> [mm]q^{n}[/mm]
> [mm](1+x_{1}) \cdots (1+x_{n}) \ge (1+q)^{n}[/mm] gilt.
>
> Hallo zusammen,
> also zu der Aufgabe denke ich mir, dass der rechte Teil
> der Ungleichung das Minimum einer Funktion f (ich bin mir
> aber nicht sicher wie diese Funktion lautet) ist. Ich
> müsste also nur eine Funktion f und die dazugehörige
> Nebenbedingung aus der Aufgabenstellung entziffern. Und da
> liegt dann eben mein Problem :)
Hallo,
gerechnet habe ich nichts, aber Deine Idee klingt gut.
Ich würd's mal so versuchen:
berechne das Minimum der Funktion [mm] f_n(x_1,...,x_n):=(1+x_{1}) \cdots (1+x_{n}) [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] x_{1} \cdots x_{n} [/mm] = [mm] q^{n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Sahne |
Danke für deine Hilfe, Angela. Mir kam komischerweise gestern abend noch die gleiche Idee in den Sinn :)
Ich habe also folgendes gerechnet:
[mm] grad(f(x))=((1+x_{2})\cdots (1+x_{n}),...,(1+x_{1}) \cdots (1+x_{n-1}))
[/mm]
[mm] grad(g(x))=(x_{2} \cdots x_{n},...,x_{1} \cdots x_{n-1}))
[/mm]
Mit dem Lagrangemultiplikator ergibt sich dann folgendes:
[mm] grad(f(x))=\lambda [/mm] grad(g(x))
Und damit ein Gleichungssystem mit Lösung: [mm] a=(a_{1}, a_{2},..., a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n}
[/mm]
Dies eingesetzt in die Nebenbedingung g(x) liefert:
[mm] a_{1}=q=a_{2}=...=a_{n}
[/mm]
Ich erhalte also einen Extremwert.
Und jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Habe ich mich vielleicht verrechnet? Bzw. wie schließe ich aus meinem Ergebnis auf ein Minimum und damit auf die Ungleichung?
Über eine weitere Antwort, wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank schon mal dafür.
Gruß
Susanne
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> Ich habe also folgendes gerechnet:
> [mm]grad(f(x))=((1+x_{2})\cdots (1+x_{n}),...,(1+x_{1}) \cdots (1+x_{n-1}))[/mm]
>
> [mm]grad(g(x))=(x_{2} \cdots x_{n},...,x_{1} \cdots x_{n-1}))[/mm]
>
> Mit dem Lagrangemultiplikator ergibt sich dann folgendes:
> [mm]grad(f(x))=\lambda[/mm] grad(g(x))
> Und damit ein Gleichungssystem mit Lösung: [mm]a=(a_{1}, a_{2},..., a_{n})[/mm]
> mit [mm]a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
> Dies eingesetzt in die Nebenbedingung g(x) liefert:
> [mm]a_{1}=q=a_{2}=...=a_{n}[/mm]
> Ich erhalte also einen Extremwert.
Hallo,
nein, gesichert ist das noch nicht.
Du weißt nun nur, daß an der Stelle x=(q,...,q) ein Extremwert vorliegen könnte(!).
Ob dort wirklich das Minimum ist, muß man noch herausfinden.
Aber: stellen wir uns mal auf den Standpunkt, daß Du bereits wüßtest, daß dort wirklich das Minimum der Funktion ist.
Dann wärest Du aus dem Schneider.
Du wüßtest, daß unter der Nebenbedingung [mm] x_1*...*x_n=q^n [/mm] für die Funktion [mm] f(x_1,...,x_n)=(1+x_1)*...*(1+x_n) [/mm] folgendes gilt
Für alle [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] gilt [mm] f(x_1,...,x_n) \ge [/mm] f(q,...,q), also
[mm] (1+x_1)*...*(1+x_n)\ge (1+q)*...*(1+q)=(1+q)^n
[/mm]
Du mußt Dir nun noch überlegen, warum dort wirklich ein Minimum und nicht ein Maximum oder Sattelpunkt ist.
Gruß v. Angela
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