Lagrangefkt. Sattelpunkte < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Riana |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Sattelpunkte der Lagrangefunktion zu folgenden Optimierungsproblemen. Geben Sie jeweils an, ob die Funktion konvex oder konkav ist:
a)
[mm]f(x,y) = x^2 + y^3 + x*y[/mm]
u.d.N. [mm]x + 4y = 36[/mm]
b)
[mm]f(a,b,c) = 3a^2 + 2b^2 + 4c^2[/mm]
u.d.N. [mm]a + 2b = 8[/mm]
und [mm]4b - 4c = 12[/mm]
c)
[mm]Min w = x^2 + y^2 + z^2[/mm]
u.d.N. [mm]x + y = 12[/mm]
[mm]y + z = 9[/mm] |
Hi,
wir hatten in Operations Research die Lösung von nicht linearen Optimierungsproblemen mit der Lagrange Funktion.
Dafür muss man ja erstmal die Lagrange Funktion bilden und danach die Sattelpunkte berechnen - und prüfen, ob die fkt. konkav oder konvex ist. Soweit hab ich das Thema noch drauf...
Das dumme ist nur, die Vorlesung ist jetzt fast n Jahr her und ich muss jetzt ne neue Klausur drüber schreiben.
Ich brech mir den Hals schon beim bilden der Lagrangefunktion - geschweige denn, dass ich so wirklich verstanden hätte, wie ich dann weiter machn muss.
Kann mir das jemand grob erklären, damit ich wenigstens einen Teil der Punkte (20 von 90 Punkten bringt die Aufgabe - währe schön wenigstens 10 davon zu bekommen) bekomme, da auch Teilschritte bewertet werden?
Schonmal vielen Dank im Vorraus, auch dafür, dass ihr den Text bis hierhin gelesen habt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/167956,0.html
benötige aber auf jedenfall eine Antwort und die dort bisher gegebene lässt bezweifeln, dass da noch viel nachkommt - falls doch um so besser, weshalb ich hier einen weiteren Versuch unternehmen möchte.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe im Moment sehr wenig Zeit, daher
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Wenn Du Dich weiterklickst zum allgemeinen Fall, findest Du auch ein vorgerechnetes dreidimensionales Beispiel.
Vielleicht kommst Du damit schon weiter.
Ansonsten melde Dich mitsamt Deinen Versuchen wieder.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Riana |
Hallo Angela,
ein gaaanz großes Dankeschön für die Antwort - ich werd es mir sofort anschauen und melde mich sobald ich weiß, wie weit ich damit komme.
Gruß Riana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Riana |
Hallo nochmal,
ich denke das bilden der Lagrange Funktion hab ich jetzt verstanden:
[mm]f(x,y=x^2+y^3+x*y[/mm]
u.d.N. [mm]x+4y=36[/mm]
würde dann in folgende Lagrange Funktion umgewandelt:
[mm]L(x,y,\lambda) = x^2+y^3+x*y+\lambda(36-x-4y)[/mm]
aus dieser wiederum müsste ich um die Punkte zu errechnen die partiellen ableitungen bilden und setze selbige = 0:
[mm]Lx=2x+1+\lambda=0[/mm]
[mm]Ly=3y^2+1+\lambda=0[/mm]
[mm]L\lambda=36-x-4y=0[/mm]
(ich denke mal das wird so richtig sein - oder täusche ich mich da?)
Aber wie komme ich jetzt von da auf die jeweiligen Punkte - und wenn ich einen solchen Punkt habe: Ist das dann ein Sattelpunkt oder nur ein möglicher Punkt? Ich glaub ich steh grad etwas auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riana!
Deine partiellen Ableitungen sind leider falsch. Zum Beispiel erhalte ich für [mm] $L_x$ [/mm] :
[mm] $$L_x [/mm] \ = \ [mm] 2x+0+1*y+\lambda*(-1) [/mm] \ = \ [mm] 2x+y-\lambda$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Riana |
Hi Loddar,
ups  da hast du natürlich Recht, da muss ich morgen sehr genau hinschauen, damit ich da nicht ausversehen was unterschlage... ich hab die Regeln zwar verstanden, nach denen das partielle Ableiten funktionieren soll, aber gut geklappt hat das bei mir noch nie :-(
ansonsten war der Ansatz aber hoffentlich richtig...
nur wie ich daraus dann am Ende die Punkte rausziehe ist mir irgendwie immernoch nicht klar :-( kannst du mir da vielleicht weiterhelfen? Bin für jeden Gedankenschubs dankbar.
Liebe Grüße
Riana
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> nur wie ich daraus dann am Ende die Punkte rausziehe ist
> mir irgendwie immernoch nicht klar
Hallo,
Deiner Mitteilung entnehme ich, daß Du die richtigen partiellen Gleichungen nun hast.
Die mußt Du =0 setzen, und nach x und y auflösen.
Oft ist es sinnvoll, zunächst das [mm] \lambda [/mm] aus den Gleichungen zu eliminieren, denn man braucht es nicht, es ist ja lediglich eine Hilfsvariable.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Riana |
Hi und sorry, dass ich erst jetzt schreibe.
Ich danke euch allen für die Hilfe - ich hab die Klausur bestanden, weiß zwar die Punkte noch nicht, aber bestanden ist erstmal das wichtigste für mich
Gut möglich, dass Ihr mich hier grade davor bewahrt habt meinen Studienplatz zu verlieren.
Dafür möchte ich euch beiden und insbesondere dir, Angela, gaaaanz doll danken.
Liebe Grüße
Riana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Riana |
Der Vollständigkeit halber die - wie ich denke - richtigen Ableitungen:
[mm]Lx=2x+0+1*y+\lambda(0-1-0)=2x+y-\lambda[/mm]
[mm]Ly=0+3y^2+x*1+\lambda(0-0-4)=3y^2+x-4\lambda[/mm]
[mm]L\lambda=0+0+0*0+1*(36-x-4y)=36-x-4y[/mm]
hoffe das stimmt so
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