Lagrange optimale Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Fr 24.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist die Produktionsfunktion
x = [mm] f(r_1, r_2) [/mm] = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] mit
x: Menge des Endproduktes
[mm] r_1, r_2 \ge [/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.
Eine ME [mm] r_1 [/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm] r_2 [/mm] kostet 1 GE.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge maximiert werden soll.
[nur notwendige Bedingung!]
Interpretieren Sie außerdem den Wert des Lagrange-Parameters. |
Moin Moin,
1. Nebenbedingung aufstellen
[mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] = 100
2. Lagrange-Funktion aufstellen
L = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] \lambda*(4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100)
3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen
I. [mm] \bruch{dL}{dr_1} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] 4,5*\lambda [/mm] = 0
II. [mm] \bruch{dL}{dr_2} [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0
III. [mm] \bruch{dL}{d\lambda} [/mm] = [mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0
4. Das Gleichungssystem lösen
-4,5*II. + I.
[mm] -4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] + [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] = 0
[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] | [mm] *r_2^{0,9} *r_1^{0,1} [/mm]
[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm]
[mm] 4,5*r_1 [/mm] = [mm] 9*r_2 [/mm]
[mm] r_1 [/mm] = [mm] 2*r_2 [/mm]
in III. einsetzen
[mm] 4,5*2*r_2 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0
[mm] r_2 [/mm] = 10 => [mm] r_1 [/mm] = 20
II.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] 20^{0,9}*10^{-0,9}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 1,866
x = f(20;10) = [mm] 10*20^{0,9}*10^{0,1} [/mm]
x= 186,61
richtig?
Wie soll ich aber nun den Wert von [mm] \lambda [/mm] interpretieren? Keine Ahnung!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Fr 24.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Produktionsfunktion
>
> x = [mm]f(r_1, r_2)[/mm] = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] mit
>
> x: Menge des Endproduktes
> [mm]r_1, r_2 \ge[/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.
>
> Eine ME [mm]r_1[/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm]r_2[/mm] kostet 1 GE.
>
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die
> optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die
> Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge
> maximiert werden soll.
>
> [nur notwendige Bedingung!]
>
> Interpretieren Sie außerdem den Wert des
> Lagrange-Parameters.
> Moin Moin,
>
> 1. Nebenbedingung aufstellen
> [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] = 100
>
> 2. Lagrange-Funktion aufstellen
>
> L = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] - [mm]\lambda*(4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100)
>
> 3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen
>
> I. [mm]\bruch{dL}{dr_1}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] -
> [mm]4,5*\lambda[/mm] = 0
>
> II. [mm]\bruch{dL}{dr_2}[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> III. [mm]\bruch{dL}{d\lambda}[/mm] = [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>
> 4. Das Gleichungssystem lösen
>
> -4,5*II. + I.
>
> [mm]-4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] + [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] = 0
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] |
> [mm]*r_2^{0,9} *r_1^{0,1}[/mm]
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm] =
> [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm]
>
>
> [mm]4,5*r_1[/mm] = [mm]9*r_2[/mm]
>
> [mm]r_1[/mm] = [mm]2*r_2[/mm]
>
>
> in III. einsetzen
>
> [mm]4,5*2*r_2[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>
> [mm]r_2[/mm] = 10 => [mm]r_1[/mm] = 20
>
> II.
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]20^{0,9}*10^{-0,9}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1,866
>
> x = f(20;10) = [mm]10*20^{0,9}*10^{0,1}[/mm]
>
> x= 186,61
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> richtig?
Ja, alles richtig
>
>
> Wie soll ich aber nun den Wert von [mm]\lambda[/mm] interpretieren?
> Keine Ahnung!
Ich machs mal mit x und y und variabler Nebenbedingung: fassen wir die Lagrange- Funktion auch noch als Funktion von c auf:
$L(x,y, [mm] \lambda; [/mm] c)=f(x,y)+ [mm] \lambda [/mm] (c-g(x,y)).$
Dann ist $ [mm] \frac{\partial L}{\partial c}= \lambda.$
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] gibt also an, wie sich das Max/Min ändert, wenn die Konstante $c$ in der Nebenbedingung $g(x,y)= c$ verändert wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Fr 24.05.2019 | | Autor: | hase-hh |
Alles klar! Vielen Dank !!!
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