Lagrange Restgliedabschätzung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie das 2. Taylorpolynom der Funktion [mm] f(x):=e^{cos(x)} [/mm] an der Stelle a=0. |
| Aufgabe 2 | | Wie klein muss r>0 gewählt werden damit der Fehler, der bei der Approximation von f Durch T_2f gemacht wird, auf dem Intervall [0,r] kleiner als 10^-3 ist? |
Hallo liebe Interessengemeinschaft,
ich habe ein Problem beim Lösen der 2. Aufgabe. Erstere ist denkbar einfach, wie auch eigentlich Nr.2...
Für Restglied [mm] R_2 [/mm] nach Lagrange habe ich folgendes erarbeitet:
[mm] R_2(\xi)= (3*sin(\xi)*cos(\xi)*e^{cos(\xi)}+sin(\xi)*e^{cos(\xi)}-sin^3(\xi)*e^{cos(\xi)})*\bruch{x^3}{6}
[/mm]
Folgende Frage habe ich:
1) Sehe ich es richtig, dass das gesuchte r, nach dem in der Ungleichung
[mm] R_2(\xi)\le [/mm] 10^-3
aufgelöst werden muss, das x in der Restgliedformel ist?
2) Wie habe ich den maximalen Wert für [mm] \xi [/mm] zu wählen? Die sinus und cosinus Terme werden ja nicht größer als 1, aber eben nicht gleichzeitig... oder darf ich annehmen, jene Terme tragen alle den Wert 1?
Danke im Voraus für Ideen und Antworten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 23.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das 2. Taylorpolynom der Funktion
> [mm]f(x):=e^{cos(x)}[/mm] an der Stelle a=0.
> Wie klein muss r>0 gewählt werden damit der Fehler, der
> bei der Approximation von f Durch T_2f gemacht wird, auf
> dem Intervall [0,r] kleiner als 10^-3 ist?
> Hallo liebe Interessengemeinschaft,
>
> ich habe ein Problem beim Lösen der 2. Aufgabe. Erstere
> ist denkbar einfach, wie auch eigentlich Nr.2...
> Für Restglied [mm]R_2[/mm] nach Lagrange habe ich folgendes
> erarbeitet:
>
> [mm]R_2(\xi)= (3*sin(\xi)*cos(\xi)*e^{cos(\xi)}+sin(\xi)*e^{cos(\xi)}-sin^3(\xi)*e^{cos(\xi)})*\bruch{x^3}{6}[/mm]
Ja, das stimmt.
Schreibe aber besser [mm] R_2(x; \xi) [/mm] . Dabei liegt [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x
>
>
> Folgende Frage habe ich:
>
> 1) Sehe ich es richtig, dass das gesuchte r, nach dem in
> der Ungleichung
> [mm]R_2(\xi)\le[/mm] 10^-3
>
> aufgelöst werden muss, das x in der Restgliedformel ist?
Nicht ganz. Du mußt die Ungl. [mm]|R_2(x;\xi)| \le[/mm] [mm] 10^{-3} [/mm] bearbeiten.
>
>
> 2) Wie habe ich den maximalen Wert für [mm]\xi[/mm] zu wählen? Die
> sinus und cosinus Terme werden ja nicht größer als 1,
> aber eben nicht gleichzeitig... oder darf ich annehmen,
> jene Terme tragen alle den Wert 1?
Es ist [mm] |sin(\xi)| \le [/mm] 1 und [mm] |cos(\xi)| \le [/mm] 1 und [mm] e^{cos(\xi)} \le e^1=e
[/mm]
Mit der Dreiecksungl. kommst Du dann auf
[mm] |R_2(x;\xi)| \le \bruch{5*e}{6}r^3.
[/mm]
FRED
>
> Danke im Voraus für Ideen und Antworten!
>
|
|
|
|
