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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Pidgin |
Wir haben in der Vorlesung die Nebenbedingung g: [mm] $U\rightarrow \mathds{R}$ [/mm] der Funktion $f: [mm] U\rightarrow \mathds{R}$ [/mm] wie folgt definiert mit kompakter Teilmenge [mm] A\subset [/mm] U:
g(x) = 0 für [mm] x\in \partial [/mm] A
g(x)>0 für [mm] x\in A^{\circ}
[/mm]
g(x)<0 für [mm] x\in U\setminus [/mm] A
Meine Frage: Ich betrachte nun die Funktion f(x,y,z) mit der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2+z^2=1. [/mm] Wie bestimme ich jetzt mein g(x,y,z)?
In der Lösung ist die Funktion g(x,y,z)= [mm] x^2+y^2+z^2-1 [/mm] so aufgelöst worden, aber das widerspricht doch dem Satz aus der Vorlesung (siehe oben) oder?
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> Wir haben in der Vorlesung die Nebenbedingung g:
> [mm]U\rightarrow \mathds{R}[/mm] der Funktion [mm]f: U\rightarrow \mathds{R}[/mm]
> wie folgt definiert mit kompakter Teilmenge [mm]A\subset[/mm] U:
> g(x) = 0 für [mm]x\in \partial[/mm] A
> g(x)>0 für [mm]x\in A^{\circ}[/mm]
> g(x)<0 für [mm]x\in U\setminus[/mm]
> A
>
> Meine Frage: Ich betrachte nun die Funktion f(x,y,z) mit
> der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+z^2=1.[/mm] Wie bestimme ich jetzt
> mein g(x,y,z)?
> In der Lösung ist die Funktion g(x,y,z)= [mm]x^2+y^2+z^2-1[/mm] so
> aufgelöst worden, aber das widerspricht doch dem Satz aus
> der Vorlesung (siehe oben) oder?
>
Hallo,
ich hoffe, daß ich mit meiner Antwort die Frage treffe...
Du möchtest also den Extremwert einer Funktion [mm] f:\IR³ \to \IR [/mm] bestimmen unter der Nebenbedingung x²+y²+z²=1, also auf der Oberfläche (Rand ) der Einheitskugel.
Hierzu untersuchst Du die Funktion [mm] L(x,y,z,\lambda):=f(x,y,z) [/mm] + [mm] \lambda(x²+y²+z²-1).
[/mm]
Wäre die NB gewesen [mm] x^2+y^2+z^2\le [/mm] 1,
so würdest Du mit f eine "normale" Extremwertbestimmung durch führen, nachschauen, für welche der gefundenen Extrema die nebenbedingung erfüllt ist, und anschließend würdest Du wie oben noch den Rand untersuchen.
Bei der NB [mm] x^2+y^2+z^2< [/mm] 1 entfällt die Untersuchung des Randes.
Mal grob gesagt: wenn die NB mit "=" oder [mm] "\le, \ge" [/mm] ist, ist der Rand (auch) zu untersuchen (Lagrange).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Pidgin |
Vielleicht war meine Frage etwas verwirrend, sorry.
Was ich eigentlich wissen wollte, wie man die Nebenbedingung für die Formel der Lagrange Multiplikatoren umschreibt?
Meine Nebenbedingung [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
1.Möglichkeit: g(x,y,z) = [mm] 1-x^2-y^2-z^2
[/mm]
2. Möglichkeit g(x,y,z) = [mm] x^2+y^2+z^2- [/mm] 1
In der Musterlösung ist die 2. Möglichkeit gewählt worden. Warum widerspricht das nicht dem Satz aus meinem letzten Post, da bei der 2. Möglichkeit g(x,y,z) < 0 im Inneren der Einheitskugel ist?
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> Vielleicht war meine Frage etwas verwirrend, sorry.
> Was ich eigentlich wissen wollte, wie man die
> Nebenbedingung für die Formel der Lagrange Multiplikatoren
> umschreibt?
> Meine Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
>
> 1.Möglichkeit: g(x,y,z) = [mm]1-x^2-y^2-z^2[/mm]
> 2. Möglichkeit g(x,y,z) = [mm]x^2+y^2+z^2-[/mm] 1
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> In der Musterlösung ist die 2. Möglichkeit gewählt worden.
> Warum widerspricht das nicht dem Satz aus meinem letzten
> Post, da bei der 2. Möglichkeit g(x,y,z) < 0 im Inneren
> der Einheitskugel ist?
Hallo,
möglicherweise ahne ich jetzt ganz dunkel, wo Dein Problem liegt.
Wenn die Nebenbedingung lautet x²+y²+z²=1, so hat das nichts mit "<" oder ">" zu tun.
Denn Du interessierst Dich ja nur für die Punkte auf der Oberfläche der Kugel, also die Vektoren vom Betrag 1.
Ob man nun [mm] g_1(x,y,z)=x²+y²+z²-1=0 [/mm] als NB nimmt oder [mm] g_2(x,y,z)= [/mm] -(x²+y²+z²-1)=0, ist im Prinzip egal. Es sind doch dieselben Punkte, die [mm] g_1(x,y,z)=0 [/mm] bzw. [mm] g_2(x,y,z)=0 [/mm] erfüllen, eben die Punkte auf dem Rand der Kugel.
Die Bedingung x²+y²+z²<1 würde völlig andere Punkte beschreiben, nämlich die im Inneren der Einheitskugel.
Hier würdest Du, wenn Du die lok. Extrema von f auf [mm] \IR³ [/mm] bestimmt hast, prüfen, ob für diese Punkte x²+y²+z²<1 bzw. x²+y²+z²-1<0 bzw. 0<1-x²+y²+z² gilt.
Gruß v. Angela
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