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| Aufgabe | [mm]h(z) = -\int p(z)\ ln(p(z))dz[/mm] -> max
mit Nebenbedingungen:
[mm]\int k_l(z) p(z) dz = e_l, l=1,...,L[/mm]
[mm]\int p(z) dz = 1[/mm]
z: ist vektoriell |
Hallo,
folgende Probleme:
Langrange wird jetzt wie folgt angesetzt:
[mm]J(p(z)) := -\int p(z)\ ln(p(z))dz + \lambda_0 \int p(z) dz + \sum_{l=1}^{L}\lambda_l \int k_l(z) p(z) dz[/mm]
wird das nicht normalerweise zu: [mm]\lambda_0 (\int p(z) dz -1) + \sum_{l=1}^{\L}\lambda_l (\int k_l(z) p(z) dz - e_l)[/mm] ,bzw. warum wird das hier nicht so gemacht?
der nächste Schritt ist dann:
[mm]\frac{\partial J(p(z)) }{\partial p(z)} = -ln(p(z)) - 1 + \lambda_0 + \sum_{l=1}^{L} \lambda_l k_l(z) = 0 [/mm]
da blick ich überhaupt nicht mehr durch :
[mm]-\int p(z)\ ln(p(z))dz [/mm] sollte abgeleitet doch zu [mm]-p(z)\ ln(p(z))[/mm] werden,
[mm]\lambda_0 \int p(z) dz [/mm] abgeleitet zu: [mm]\lambda_0 p(z) [/mm]
und der letzte Teil zu: [mm]\sum_{l=1}^{L}\lambda_l k_l(z) p(z) [/mm]
Hilfe ist sehr willkommen, ich weiss hier einfach nicht weiter.
Mfg
Peter
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Hallo peter.suedwest,
> [mm]h(z) = -\int p(z)\ ln(p(z))dz[/mm] -> max
> mit Nebenbedingungen:
> [mm]\int k_l(z) p(z) dz = e_l, l=1,...,L[/mm]
> [mm]\int p(z) dz = 1[/mm]
>
> z: ist vektoriell
> Hallo,
>
> folgende Probleme:
> Langrange wird jetzt wie folgt angesetzt:
> [mm]J(p(z)) := -\int p(z)\ ln(p(z))dz + \lambda_0 \int p(z) dz + \sum_{l=1}^{L}\lambda_l \int k_l(z) p(z) dz[/mm]
>
> wird das nicht normalerweise zu: [mm]\lambda_0 (\int p(z) dz -1) + \sum_{l=1}^{\L}\lambda_l (\int k_l(z) p(z) dz - e_l)[/mm]
> ,bzw. warum wird das hier nicht so gemacht?
>
> der nächste Schritt ist dann:
> [mm]\frac{\partial J(p(z)) }{\partial p(z)} = -ln(p(z)) - 1 + \lambda_0 + \sum_{l=1}^{L} \lambda_l k_l(z) = 0[/mm]
Hier wurde nach p abgeleitet.
>
> da blick ich überhaupt nicht mehr durch :
> [mm]-\int p(z)\ ln(p(z))dz[/mm] sollte abgeleitet doch zu [mm]-p(z)\ ln(p(z))[/mm]
> werden,
> [mm]\lambda_0 \int p(z) dz[/mm] abgeleitet zu: [mm]\lambda_0 p(z)[/mm]
> und der letzte Teil zu: [mm]\sum_{l=1}^{L}\lambda_l k_l(z) p(z)[/mm]
>
Für die Ableitung nach z hast Du recht.
Hier wurde die Kettenregel angewendet.
Nehmen wir als Beispiel [mm]h\left(z\right)[/mm]:
Dann ist
[mm]h\left(z\right)=h\left( \ p\left(z\right) \ \right)[/mm]
abgeleitet ergibt:
[mm]\bruch{dh}{dz}=\bruch{dh}{dp}*\bruch{dp}{dz}[/mm]
Demnach ist
[mm]\bruch{dh}{dz}=-p*\ln\left(p\right)=\integral_{}^{}{\bruch{d}{dp}\left( \ -p*\ln\left(p\right) \right) *\bruch{dp}{dz} \ dz}= \integral_{}^{}{\bruch{d}{dp}\left( \ -p*\ln\left(p\right) \ \right) \ dp}[/mm]
Daher ist
[mm]\bruch{dh}{dp}=\bruch{d}{dp}\left( \ -p*\ln\left(p\right) \ \right)=-\ln\left(p\right)-1[/mm]
>
> Hilfe ist sehr willkommen, ich weiss hier einfach nicht
> weiter.
>
>
>
> Mfg
> Peter
Gruß
MathePower
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Daher ist
$ [mm] \bruch{dh}{dp}=\bruch{d}{dp}\left( \ -p\cdot{}\ln\left(p\right) \ \right)=-\ln\left(p\right)-1 [/mm] $
... und was ist mit dem Integral passiert? ... das fällt weg oder wie?
-> irgendwie blicke ich das nicht
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aber warum der komische Ansatz?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
Du musst das anders aufziehen:
1. [mm]J[p][/mm] ist ein Funktional. Von [mm]z[/mm] hängt es nicht mehr ab.
[mm]J[p] :=-\int p(z)\ ln(p(z))dz+\lambda_0 (\int p(z) dz -1) + \sum_{l=1}^{\L}\lambda_l (\int k_l(z) p(z) dz - e_l)[/mm]
2. Um das Maximum zu finden, soll [mm]J[p][/mm] stationär bleiben unter (infinitesimalen) Variatonen [mm]\delta p[/mm], d.h.
[mm]\delta J:=J[p+\delta p]-J[p]=0[/mm]
3. Alles einsetzen und Taylorentwickeln bis zur Ordnung [mm]\delta p[/mm]. Ich ignoriere aus Schreibfaulheit mal die Nebenbed.
[mm]\delta J=-\int (p(z)+\delta p(z))\ ln(p(z)+\delta p(z))dz+\int p(z)\ ln(p(z))dz
= -\int \delta p(z)(\ ln(p(z)+1)dz + O(\delta p^2)
[/mm]
Dies muss [mm]0[/mm] sein und (da [mm]\delta p[/mm] eine beliebige Variation war) muss der Integrand [mm]-\ ln(p(z)-1[/mm] verschwinden. Genauso machst du es auch mit den NB.
4. Ob du jetzt [mm]\lambda_0 (\int p(z) dz -1)[/mm] oder [mm]\lambda_0 (\int p(z) dz )[/mm] schreibst is wurscht, da der konstante Term bei der Differenzenbildung [mm]J[p+\delta p]-J[p]=0[/mm] eh wegfällt.
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