Lagrange 1. Art - Kugel < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Teilchen bewege sich reibungsfrei auf der Innenfläche einer Hohlkugel mit dem Radius R.
Formulieren Sie die Zwangsbedingung und bestimmen Sie die Bewegungsgleichung im Lagrange-Fomralismus 1.Art in kartesichen Koordinaten. |
Hallo,
es gilt ja für die Bewegungsgleichung
[mm] $$m\ddot{\vec{r}}=\vec{F}_{Grav}+\lambda \nabla [/mm] f [mm] \quad (\ast)$$
[/mm]
Mit der Zwangsbedingung:
[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2=0$
[/mm]
[mm] $\nabla [/mm] f = 2(x,y,z)$
Leite ich jetzt noch die Funktion f nach der Zeit ab erhalte ich noch die Bedingungen:
[mm] $2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z}=0 \gdw x\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}=0 [/mm] $
[mm] $\dot{x}^2+x\ddot{x}+\dot{y}^2+y\ddot{y}+\dot{z}^2+z\ddot{z}=0$
[/mm]
Somit ergibt sich die Bew.-Gl. [mm] $(\ast)$ [/mm] in Komponenten:
[mm] $$m\ddot{x}=2\lambda [/mm] x$$
[mm] $$m\ddot{y}=2\lambda [/mm] y$$
[mm] $$m\ddot{z}=-mg+2\lambda [/mm] z$$
Jetzt muss ich versuchen das [mm] \lambda [/mm] zu ermitteln. Doch das will mir nicht so recht gelingen.
Ich könnte diese drei Gleichungen jeweils mit x,y,z multiplizieren und addieren. Dann erhalte ich mit der Funktion f und den zweiten Ableitungen:
[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2))$
[/mm]
Darf [mm] \lambda [/mm] denn von den Ableitungen abhängen? Und dann bin ich ja immer noch weit davon entfernt, die Bewegunsgleichungen zu lösen...?
Danke!
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Fr 13.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die 3 Gleichungen sind doch einfache lin Dgl. die kannst du lösen, dann in f einsetzen ergibt [mm] \lambda
[/mm]
oder erst Anfangsbed. einsetzen und dann [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
aber wenn ich die DGLs löse erhalte ich ja ziemlich komplzierte Ausdrücke: [mm] x(t)=c_1*\exp(\sqrt{2\lambda/m)}+c_2\exp(-\sqrt{2\lambda/m}) [/mm] etc. Ich glaube mittlerweile, dass ich die gar nicht explizit lösen muss, sondern das aufstellen schon reicht.
Teil b.) der Aufgabe lautet nämlich nun:
Untersuchen Sie die Bewegung für kleine Auslenkungen mit den Anfangsbedingungen [mm] \vec{r}(0)=-R\vec{e_z}, \; \vec{v}(0)=v_0\vec{e_x}
[/mm]
Wichtig ist hier wohl das mit den kleinen Auslenken. Das heißt [mm] $z\approx [/mm] -R$ oder [mm] $z=-R+\zeta$
[/mm]
Nun soll ich irgendwie auf einfache DGLs kommen:
[mm] \dot{x}=... [/mm]
[mm] \dot{y}=...
[/mm]
[mm] \dot{z}=...
[/mm]
Mit Termen linear in [mm] x,y,\zeta. [/mm]
Ich frage mich nur wie????
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Hallo nochmal,
also ich bin inzwischen etwas weiter gekommen.
[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)) [/mm] $
Nun ist [mm] (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)=v^2 [/mm] und wegen [mm] 1/2mv^2=mgz [/mm] folgt für [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-2gz)=-\frac{mg}{2R^2}z$
[/mm]
Damit erhalte ich die DGLs:
[mm] \ddot{x}=-\frac{g}{R^2}zx
[/mm]
[mm] \ddot{y}=-\frac{g}{R^2}zy
[/mm]
[mm] \ddot{z}=-g-\frac{g}{R^2}z^2
[/mm]
Diese soll ich nun für kleine Auslenkungen lösen mit den Anfangsbedingungen:
[mm] $\vec{r}(0)=-R\vec{e_z}, \quad \vec{v}(0)=v_0\vec{e_x}$
[/mm]
Ich versuche mich mal an der ersten Gleichung:
Jetzt ersetze ich [mm] z:=-R+\zeta
[/mm]
[mm] $\ddot{x}=-\frac{g}{R^2}(-R+\zeta)x=g/R x-g/R^2 \zeta [/mm] x$ Das Produkt [mm] \zeta*x [/mm] vernachlässige ich, sodass ich auf die Gleichung:
[mm] \ddot{x}-\frac{g}{R}x=0 [/mm] komme.
Ansatz mit der e-Funtion liefert die Gleichung:
[mm] x(t)=c_1\exp(\sqrt{g/R}t)+c_2\exp(-\sqrt{g/R}t)
[/mm]
Mit den Anfangsbedingungen komme ich auf:
[mm] x(t)=v_0\sqrt{R/g}\sinh(\sqrt{g/R}*t)
[/mm]
Kann das realistisch sein, dass der [mm] \sinh [/mm] rauskommt? Das ist ja dann eigentlich keine richtige Schwingung....
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Lösung ist falsch du hast doch
als Lösung [mm] e^{\sqrt{-\frac{g}{R^2}}}und [/mm] damit den normalen sin oder cos.
Gruss leduart
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Ja das dachte ich auch erst, aber wenn ich [mm] z:=\red{-}R+\zeta [/mm] ersetze, dann kürzt sich doch das Minus aus der DGL raus und ich komme schließlich auf:
[mm] $\ddot{x}-\frac{g}{R}x=0$
[/mm]
Hier erhalte ich doch [mm] exp(\sqrt{\red{+}g/R})
[/mm]
Ich sehe keinen Fehler...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Di 17.11.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo,
ich habe den Fehler gefunden. Die pot. Energie lautet $mg(R+z)$. Damit passt alles.
Das Thema kann somit auf erledigt gestellt werden.
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