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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Lagrange - Multiplikatoren
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Lagrange - Multiplikatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Sa 05.02.2011
Autor: martinii

Aufgabe
f(x,y,z):=x+y-z und [mm] g(x,y,z):=x^2+y^2+z^2=1 [/mm]
Berechnen Sie die globalen Extrema mit HIlfe der Lagrange - Multiplikatoren.

Hallo Leute,
Bin gerade dabei diese Aufgabe zu rechnen und komme aber nicht weiter.

Gezeigt habe ich schon, das überhaupt extrema angenommen werden.

Zum Berechnen der Langrange - Multiplikatoren haben wir folgende Formel:

gradient f = [mm] \lambda [/mm] * gradient g

dann hab ich folgendes GLS aufgestellt:

1  = [mm] \lambda*2x [/mm]
1  = [mm] \lambda*2y [/mm]
-1 = [mm] \lambda*2z [/mm]

und dann hab ich folgendes berechnet:
1. Fall:
[mm] \lambda=1/2 [/mm]  --> z=-1

in NB g(x,y,z)  --> [mm] g(x,y,z)=x^2+y^2=2 [/mm]

in f(x,y,z) --> f(x,y,z)=2-1=1

2. Fall:  
[mm] \lambda \not=1/2 [/mm]  --> x=y=0
--> z= [mm] -1/(2\lambda) [/mm]
in NB --> g(x,y,z)= [mm] (1/(2\lambda))^2=1 [/mm]   --> [mm] \lambda=1/4 [/mm]
[mm] \lambda [/mm] in z einsetzen --> z =-2

in f einsetzen --> f(0,0,-2)=2

so hätte ich das jetzt gerechnet.
aber im internet steht eine andere Lösung. die haben die erste GL nach x aufgelöst und die zweite nach y und die dritte nach z.
dann in die NB eingesetzt und somit [mm] \lambda [/mm] ausgerechnet ...
Leider kommen die aber auf ein anderes Ergebnis.

kann mir jdm weiterhelfen??

Vielen Dank schon mal
LG
Martina


        
Bezug
Lagrange - Multiplikatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Sa 05.02.2011
Autor: MathePower

Hallo martinii,

> f(x,y,z):=x+y-z und [mm]g(x,y,z):=x^2+y^2+z^2=1[/mm]
>  Berechnen Sie die globalen Extrema mit HIlfe der Lagrange
> - Multiplikatoren.
>  Hallo Leute,
>  Bin gerade dabei diese Aufgabe zu rechnen und komme aber
> nicht weiter.
>  
> Gezeigt habe ich schon, das überhaupt extrema angenommen
> werden.
>
> Zum Berechnen der Langrange - Multiplikatoren haben wir
> folgende Formel:
>  
> gradient f = [mm]\lambda[/mm] * gradient g
>  
> dann hab ich folgendes GLS aufgestellt:
>  
> 1  = [mm]\lambda*2x[/mm]
> 1  = [mm]\lambda*2y[/mm]
>  -1 = [mm]\lambda*2z[/mm]
>  
> und dann hab ich folgendes berechnet:
>  1. Fall:
> [mm]\lambda=1/2[/mm]  --> z=-1
>  
> in NB g(x,y,z)  --> [mm]g(x,y,z)=x^2+y^2=2[/mm]
>  
> in f(x,y,z) --> f(x,y,z)=2-1=1
>  
> 2. Fall:  
> [mm]\lambda \not=1/2[/mm]  --> x=y=0
>  --> z= [mm]-1/(2\lambda)[/mm]

>  in NB --> g(x,y,z)= [mm](1/(2\lambda))^2=1[/mm]   --> [mm]\lambda=1/4[/mm]

>  [mm]\lambda[/mm] in z einsetzen --> z =-2

>  
> in f einsetzen --> f(0,0,-2)=2
>  
> so hätte ich das jetzt gerechnet.
> aber im internet steht eine andere Lösung. die haben die
> erste GL nach x aufgelöst und die zweite nach y und die
> dritte nach z.
>  dann in die NB eingesetzt und somit [mm]\lambda[/mm] ausgerechnet
> ...
>  Leider kommen die aber auf ein anderes Ergebnis.
>  
> kann mir jdm weiterhelfen??


Das Vorgehen zur Bestimmung der
Lösung im Internet ist ja auch korrekt..

Mir ist es nicht klar, wie Du auf den Fall [mm]\lambda=\bruch{1}{2}[/mm] kommst.


>  
> Vielen Dank schon mal
>  LG
>  Martina

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Lagrange - Multiplikatoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Sa 05.02.2011
Autor: martinii

Hallo,

war einfach nur ein Denkfehler von mir.
Hat sich alles geklärt :-)

LG

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