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Hallo zusammen
Ich möchte folgende Aufgabe mit Lagrange lösen, leider klappt es nicht wirklich:
Untersuche die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{3}{2}*x^2-2*x*y [/mm] nach lokalen Extrema unter der Nebenbedingung
M={ [mm] (x,y)\in\IR^2 :x^2+y^2=5 [/mm] }
Nach meinen Vorlesungsunterlagen muss man dies nun wie folgt lösen:
Definiere: h(x,y)= [mm] x^2+y^2-5 [/mm]
Es gilt: [mm] grad(f(x,y))=\lambda [/mm] grad(h(x,y))
So nun habe ich:
[mm] \vektor{3x-2y \\ -2y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{2x \\ 2y}
[/mm]
Nun heisst es in meinen Vorlesungsunterlagen ich soll die Fallunterscheidung [mm] \lambda=0 [/mm] & [mm] \lambda\not=0 [/mm] machen:
Für [mm] \lambda=0: [/mm]
(x,y)=(0,0) [mm] \not\in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] (0,0) keine kritische Stelle. (Stimmt das?)
Für [mm] \lambda\not=0: [/mm]
Hier weiss ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll!??
Muss ich die Nebenbedingung nach einer Variable umformen? Oder gibt es einen Trick, den ich nicht sehe?
Liebe Grüsse
Babybel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 07.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo zusammen
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> Ich möchte folgende Aufgabe mit Lagrange lösen, leider
> klappt es nicht wirklich:
>
>
> Untersuche die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{3}{2}*x^2-2*x*y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach
> lokalen Extrema unter der Nebenbedingung
> M={ [mm](x,y)\in\IR^2 :x^2+y^2=5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
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> Nach meinen Vorlesungsunterlagen muss man dies nun wie
> folgt lösen:
> Definiere: h(x,y)= [mm]x^2+y^2-5[/mm]
> Es gilt: [mm]grad(f(x,y))=\lambda[/mm] grad(h(x,y))
>
> So nun habe ich:
> [mm]\vektor{3x-2y \\ -2y}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm]
>
> Nun heisst es in meinen Vorlesungsunterlagen ich soll die
> Fallunterscheidung [mm]\lambda=0[/mm] & [mm]\lambda\not=0[/mm] machen:
Koennte es sein, dass der Ansatz in den Unterlagen [mm] $\mu \vektor{3x-2y \\ -2y}= \lambda \vektor{2x \\ 2y}$ [/mm] lautet und eine Fallunterscheidung nach [mm] $\mu=0$ [/mm] bzw. [mm] $\mu\neq [/mm] 0$ o.s.ae. durchgefuehrt wurde?
>
> Für [mm]\lambda=0:[/mm]
> (x,y)=(0,0) [mm]\not\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] (0,0) keine kritische
> Stelle. (Stimmt das?)
Ja, das stimmt.
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> Für [mm]\lambda\not=0:[/mm]
> Hier weiss ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll!??
> Muss ich die Nebenbedingung nach einer Variable umformen?
> Oder gibt es einen Trick, den ich nicht sehe?
Ja, so kannst Du vorgehen; jedenfalls sollst Du $x$, $y$ und [mm] $\lambda$ [/mm] berechnen. In Deinem speziellen Fall kannst Du [mm] $\vektor{3x-2y \\ -2y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{2x \\ 2y}$ [/mm] als Eigenwertgleichung auffassen, vielleicht nuetzt das etwas.
>
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mo 08.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo zusammen
> >
> > Ich möchte folgende Aufgabe mit Lagrange lösen, leider
> > klappt es nicht wirklich:
> >
> >
> > Untersuche die Funktion
> [mm]f(x,y)=\bruch{3}{2}*x^2-2*x*y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> nach
> > lokalen Extrema unter der Nebenbedingung
> > M={ [mm](x,y)\in\IR^2 :x^2+y^2=5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
> >
> >
> > Nach meinen Vorlesungsunterlagen muss man dies nun wie
> > folgt lösen:
> > Definiere: h(x,y)= [mm]x^2+y^2-5[/mm]
> > Es gilt: [mm]grad(f(x,y))=\lambda[/mm] grad(h(x,y))
> >
> > So nun habe ich:
> > [mm]\vektor{3x-2y \\ -2y}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm]
> >
> > Nun heisst es in meinen Vorlesungsunterlagen ich soll die
> > Fallunterscheidung [mm]\lambda=0[/mm] & [mm]\lambda\not=0[/mm] machen:
> Koennte es sein, dass der Ansatz in den Unterlagen [mm]\mu \vektor{3x-2y \\ -2y}= \lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm]
> lautet
Ganz bestimmt nicht !!
FRED
> und eine Fallunterscheidung nach [mm]\mu=0[/mm] bzw. [mm]\mu\neq 0[/mm]
> o.s.ae. durchgefuehrt wurde?
> >
> > Für [mm]\lambda=0:[/mm]
> > (x,y)=(0,0) [mm]\not\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] (0,0) keine kritische
> > Stelle. (Stimmt das?)
> Ja, das stimmt.
> >
> > Für [mm]\lambda\not=0:[/mm]
> > Hier weiss ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll!??
> > Muss ich die Nebenbedingung nach einer Variable umformen?
> > Oder gibt es einen Trick, den ich nicht sehe?
> Ja, so kannst Du vorgehen; jedenfalls sollst Du [mm]x[/mm], [mm]y[/mm] und
> [mm]\lambda[/mm] berechnen. In Deinem speziellen Fall kannst Du
> [mm]\vektor{3x-2y \\ -2y} = \lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm] als
> Eigenwertgleichung auffassen, vielleicht nuetzt das etwas.
> >
> >
> > Liebe Grüsse
> > Babybel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Mo 08.09.2014 | | Autor: | hippias |
Da mich diese Fallunterscheidung auch irritiert hatte, habe ich so etwas wie ![[]](/images/popup.gif) Theorem 1 vermutet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 08.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Ich möchte folgende Aufgabe mit Lagrange lösen, leider
> klappt es nicht wirklich:
>
>
> Untersuche die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{3}{2}*x^2-2*x*y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach
> lokalen Extrema unter der Nebenbedingung
> M={ [mm](x,y)\in\IR^2 :x^2+y^2=5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
>
> Nach meinen Vorlesungsunterlagen muss man dies nun wie
> folgt lösen:
> Definiere: h(x,y)= [mm]x^2+y^2-5[/mm]
> Es gilt: [mm]grad(f(x,y))=\lambda[/mm] grad(h(x,y))
>
> So nun habe ich:
> [mm]\vektor{3x-2y \\ -2y}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm]
Nein, da hast Du Dich vertan. Richtig lautet das:
[mm]\vektor{3x-2y \\ -2x}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2x \\ 2y}[/mm]
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> Nun heisst es in meinen Vorlesungsunterlagen ich soll die
> Fallunterscheidung [mm]\lambda=0[/mm] & [mm]\lambda\not=0[/mm] machen:
Echt ? Wozu soll das gut sein ?
Du hast 2 Gleichungen:
$3x-2y=2* [mm] \lambda [/mm] x$
$x=- [mm] \lambda [/mm] y$
Setze $x=- [mm] \lambda [/mm] y$ in die erste Gleichung ein.
FRED
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> Für [mm]\lambda=0:[/mm]
> (x,y)=(0,0) [mm]\not\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] (0,0) keine kritische
> Stelle. (Stimmt das?)
>
> Für [mm]\lambda\not=0:[/mm]
> Hier weiss ich jetzt nicht genau wie ich vorgehen soll!??
> Muss ich die Nebenbedingung nach einer Variable umformen?
> Oder gibt es einen Trick, den ich nicht sehe?
>
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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