Lagrange-Multiplikatorverfahre < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikator-Verfahren die Punkte in der Fläche in [mm] R^3,
[/mm]
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{3xy}{4} [/mm] =1
mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung. |
Hallo, ich habe ein grosses Problem mit dieseser Aufgabe habe nicht einmal den Richtigen Ansatz wie ich da rangehen soll wäre sehr froh wenn ich mehr als nur kleine Tipps bekommen könnte weil so eine Aufgabe in der Klausur vorkommen wird.
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{3xy}{4} [/mm] =1
2.Schritt
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{3xy}{4} [/mm] -1 =0
Könnt ihr mir sagen wie es weiter geht:
Muss ich alles auf den dleichen Nenner bringen?
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{6x^2y^2}{8} [/mm] -1 =0
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{3xy}{4} [/mm] -1 =0
Ich versuche es mal stelle die Gleichung um:
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] - [mm] L(\bruch{3xy}{4})
[/mm]
L steht für Lambda.
Jetz leite ich nach x ab:
Lx= [mm] \bruch{5}{4x}-\bruch{3yL}{4}
[/mm]
[mm] Ly=\bruch{5}{4y}-\bruch{3xL}{4}
[/mm]
was mache ich mit dem lezten Term - 3xy/4?
Ich brauche paar gute Tipps?Bitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Da fehlt noch etwas, nämlich die Hauptbedingung. Die Gleichung, die du minimieren willst, ist ja dann [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] (bzw. die Wurzel davon, aber die Wurzel wird genau dann minimal, wenn der Radikand minimal wird).
Deine Nebenbedingung ist die Funktion, die du gegeben hast, denn x und y sollen sich ja auf dem Graphen, der durch [mm] $g(x,y)=\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1 [/mm] $ beschrieben wird, befinden.
Dann hast du [mm] L=x^2+y^2-\lambda*(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1)
[/mm]
Nun kannst du L nach x, y und [mm] \lambda [/mm] ableiten und jede Gleichung =0 setzen und dann das Gleichungssystem lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
$ [mm] L=x^2+y^2-\lambda\cdot{}(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1) [/mm] $
Muss da nicht + Lambda stehen sehe in meinen Unterlagen das da immer ein Plus steht.
grad f(a)+Lambda grad g(a)=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ist egal. Mein Professor hat es immer mit - gemacht, aber du kannst auch ein + hinmachen. Es läuft aufs gleiche Ergebnis hinaus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
$ [mm] L=x^2+y^2-\lambda\cdot{}(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1) [/mm] $
Lx = [mm] 2x-\bruch{5xL}{4}-\bruch{3y}{4}
[/mm]
Ly [mm] =2y-\bruch{5yL}{4}-\bruch{3x}{4}
[/mm]
L [mm] =\bruch{5x^2}{8}-\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1
[/mm]
So jetz habe ich die Ableitungen kannst du mir mal ein Tipp geben wie ich jetz weiter machen soll?
Wie löst man das Gleichungssystem ich habe ein Beispiel leider ist mir das nicht logisch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Also ich würde die ersten 2 Gleichungen nutzen um etwas der Form x=...irgendwas mit [mm] \lambda [/mm] und y=...irgendwas mit [mm] \lambda [/mm] zu erhalten. Dann x und y in die 3. Gleichung einsetzen.
Also z.B. die 1. Gleichung nach x umstellen und in die 2. einsetzen und du erhältst y=...irgendwas mit [mm] \lambda.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Wie kann ich nach x umstelen wenn bei mir 2-mal x vorkommt oder ist es egal?
Kannst du mir eine Gleichung zeigen damit ich das an die anderen anwende.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Klammer doch x aus. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Lx = 0 => [mm] x*(2-\bruch{5y}{4}=\bruch{3y}{4}
[/mm]
Ich habe keine ahnung was ich hier mache.
Kannste mir entgegenkommen.Bitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Also du hast dann [mm] x(2-\frac{5}{4}\lambda)=-\frac{3}{4}*y*\lambda. [/mm] Nun teile doch durch [mm] 2-\frac{5}{4}\lambda, [/mm] zumindest wenn der Term ungleich 0 ist, wovon du erstmal ausgehen kannst.
Lass dich nicht von den vielen Variablen verwirren! Das sind ganz einfache Umformungsschritte, die Gleichungen können dir nicht viel entgegensetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Hey Teufel danke aber ich komme kein stück mit den Variablen weiter verrec hne mich dauernd wenn du kannst dann zeige mir bitte die Lösungen damit ich das nachvollziehen kann. Mein Akku ist leer:-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Na ja, also die Rechnung wird glaube ich ziemlich lang. Vielleicht hat jemand auch noch einen anderen Ansatz das System zu lösen. Den gesamten Rechenweg jetzt zu posten, würde wohl ewig dauern.
Versuch doch erst einmal x und y herauszubekommen. Nimm dir Zeit.
Für y kriege ich z.B. [mm] \frac{9\lambda x}{(5\lambda -8)^2} [/mm] heraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
| Aufgabe | Aufgabe
Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikator-Verfahren die Punkte in der Fläche in $ [mm] \IR^3, [/mm] $
$ [mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{3xy}{4} [/mm] $ = 1, z [mm] \in \IR
[/mm]
mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung. |
Hallo,
also ich habe wie ihr seht die gleiche Aufgabe allerdings steht bei mir hinter der Flächenfunktion noch ein z [mm] \in \IR [/mm] dem nach frage ich mich jetzt wie muss ich das einbauen.
Außerdem ist die Fläche doch im [mm] \IR^3 [/mm] heißt das nicht, dass der Abstand zum Ursprung d = [mm] \wurzel{x^2 + y^2 + z^2} [/mm] ist?
Wäre schön wenn ihr mir helfen könntet, verzweifele nämlich grad bissel an der Aufgabe. Das was ihr hier geschrieben habt verstehe ich aber ich weiß eben nicht wie es auf meine Aufgabe Bezug nimmt.
Bis dann MaBa
|
|
|
| |
|
> Aufgabe
> Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikator-Verfahren die
> Punkte in der Fläche in [mm]\IR^3,[/mm]
>
> [mm]\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}[/mm] - [mm]\bruch{3xy}{4}[/mm] = 1, z [mm]\in \IR[/mm]
>
> mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung.
> Hallo,
>
> also ich habe wie ihr seht die gleiche Aufgabe allerdings
> steht bei mir hinter der Flächenfunktion noch ein z [mm]\in \IR[/mm]
> dem nach frage ich mich jetzt wie muss ich das einbauen.
> Außerdem ist die Fläche doch im [mm]\IR^3[/mm] heißt das nicht,
> dass der Abstand zum Ursprung d = [mm]\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}[/mm]
> ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Korrekt !
Das z aus der ganzen Rechnung einfach wegzulassen,
wie es die anderen oben gemacht haben, ist nicht
korrekt ohne eine zusätzliche Betrachtung, die zeigt,
dass die Lösungspunkte die z-Koordinate 0 haben müssen.
> Wäre schön wenn ihr mir helfen könntet, verzweifele
> nämlich grad bissel an der Aufgabe. Das was ihr hier
> geschrieben habt verstehe ich aber ich weiß eben nicht wie
> es auf meine Aufgabe Bezug nimmt.
>
> Bis dann MaBa
Hallo MaBa,
dass das z in der Flächengleichung nicht auftritt,
bedeutet, dass die Fläche eine Zylinderfläche
mit Mantellinien parallel zur z-Achse ist. Die
erzeugende Kurve in der x-y-Ebene ist übrigens
eine um 45° gedrehte Ellipse. Die gesuchten
Punkte mit minimalem Abstand vom Ursprung
müssen deshalb genau die beiden Endpunkte
der kleinen Hauptachse dieser Ellipse sein.
Jeder Punkt der Zylinderfläche mit einem [mm] z\not=0
[/mm]
hat von O bestimmt einen größeren Abstand.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
Hallo,
das hört sich logisch und plausibel an, allerdings wie wäre es bei einer anderen Funktion die nicht wie diese um die z-Achse dreht?
Bzw. wann muss ich den Abstand als d = [mm] \wurzel{x^2 + y^2 + z^2} [/mm] annehmen? Wenn meine Nebenbedingung auch von x, y, z abhängt?
Bis dann MaBa
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> das hört sich logisch und plausibel an, allerdings wie
> wäre es bei einer anderen Funktion die nicht wie diese um
> die z-Achse dreht?
(die Fläche ist nicht rotationssymmetrisch bezüglich
der z-Achse)
> Bzw. wann muss ich den Abstand als d = [mm]\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}[/mm]
> annehmen? Wenn meine Nebenbedingung auch von x, y, z
> abhängt?
Wenn es um den Abstand eines Punktes von O(0|0|0) im [mm] \IR^3
[/mm]
geht, eigentlich immer. Du machst es ja richtig !
Korrekterweise sollte die Lagrange-Funktion für die
Aufgabe ja so aussehen:
$\ [mm] L(x,y,z,\lambda)\ [/mm] =\ [mm] x^2+y^2+z^2-\lambda\cdot{}\left(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1\right) [/mm] $
Für die Lösung sind dann vier (und nicht nur 3) parti-
elle Ableitungen gleich Null zu setzen. Die Bedingung
[mm] L_z=0 [/mm] liefert dann allerdings sofort $\ z=0$ .
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
Hi,
danke für die Antwort, ich habe den Fehler gemacht
und meine Nebenbedingung als
[mm] \bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4} [/mm] - 1 = z
gesetzt, da ich dachte ich muss in der Nebenbedingung auch mein z haben (wegen dem z [mm] \in \IR) [/mm] und dann nach Null auflösen.
Ich hab also versucht es so zu lösen:
$ \ [mm] L(x,y,z,\lambda)\ [/mm] =\ [mm] x^2+y^2+z^2-\lambda\cdot{}\left(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1-z\right) [/mm] $
Dabei kam allerdings nichts sinnvolles raus. Geht das prinzipiell anders oder hab ich mich beim auflösen verrechnet und der Ansatz stimmt.
Bis dann MaBa
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> danke für die Antwort, ich habe den Fehler gemacht
> und meine Nebenbedingung als
>
> [mm]\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}[/mm] - 1 = z
>
> gesetzt, da ich dachte ich muss in der Nebenbedingung auch
> mein z haben (wegen dem z [mm]\in \IR)[/mm] und dann nach Null
> auflösen.
>
> Ich hab also versucht es so zu lösen:
>
> [mm]\ L(x,y,z,\lambda)\ =\ x^2+y^2+z^2-\lambda\cdot{}\left(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1-z\right)[/mm]
>
> Dabei kam allerdings nichts sinnvolles raus. Geht das
> prinzipiell anders oder hab ich mich beim auflösen
> verrechnet und der Ansatz stimmt.
>
> Bis dann MaBa
Naja, dann hast du halt die eigentlich gemeinte Neben-
bedingung (dass nämlich P(x|y|z) auf der gegebenen
Zylinderfläche liegen soll) durch eine andere, etwas
kompliziertere ersetzt, die geometrisch gesehen besagt,
dass P auf einer gewissen Paraboloidfläche liegen soll.
Damit hast du eine neue Aufgabe.
Sie sollte bestimmt ebenfalls lösbar sein.
Ich hab's nun sogar gerechnet und gefunden, dass
es sogar "schöne" Lösungen gibt. Zwei Punkte des
Paraboloids haben von O denselben Minimalabstand
[mm] d_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] .
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Matrix22 |
Na ja, also die Rechnung wird glaube ich ziemlich lang. Vielleicht hat jemand auch noch einen anderen Ansatz das System zu lösen. Den gesamten Rechenweg jetzt zu posten, würde wohl ewig dauern.
Versuch doch erst einmal x und y herauszubekommen. Nimm dir Zeit.
Für y kriege ich z.B. $ [mm] \frac{9\lambda x}{(5\lambda -8)^2} [/mm] $ heraus.
Eins verstehe ich nicht warum kommt hier unten ein Quadrat heraus?
Bei mir koommt das selbe nur ohne [mm] (5y-8)^2?
[/mm]
Und was ist mein nächster schritt nachdem ich mein y und x habe was muss ich da einsetzen oder Lx=0?? Versteh nicht wie es weiter geht.
|
|
|
| |
|
> Na ja, also die Rechnung wird glaube ich ziemlich lang.
> Vielleicht hat jemand auch noch einen anderen Ansatz das
> System zu lösen. Den gesamten Rechenweg jetzt zu posten,
> würde wohl ewig dauern.
>
> Versuch doch erst einmal x und y herauszubekommen. Nimm dir
> Zeit.
>
> Für y kriege ich z.B. [mm]\frac{9\lambda x}{(5\lambda -8)^2}[/mm]
> heraus.
>
> Eins verstehe ich nicht warum kommt hier unten ein Quadrat
> heraus?
> Bei mir koommt das selbe nur ohne [mm](5y-8)^2?[/mm]
> Und was ist mein nächster schritt nachdem ich mein y und
> x habe was muss ich da einsetzen oder Lx=0?? Versteh nicht
> wie es weiter geht.
Hallo Matrix22,
bezieht sich diese Frage jetzt auf deine ursprüngliche
Aufgabe ?
Dann solltest du sie anderswo anhängen, weil wir
(maba und Al-Chw.) uns hier in diesem Neben-Thread
jetzt mit einer abgeänderten Aufgabe (andere Neben-
bedingung) beschäftigt haben.
Ich hoffe, dass jetzt kein Durcheinander entsteht !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
Hi danke für die Hilfe,
wenn ich die Gleichung
$ \ [mm] L(x,y,z,\lambda)\ [/mm] =\ [mm] x^2+y^2+z^2-\lambda\cdot{}\left(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1\right) [/mm] $
benutze komme ich auf [mm] d_{min} [/mm] = 2
und x = y = [mm] \pm \wurzel{2} [/mm] , z = 0.
Kommt das hin?
Danke Maba
|
|
|
| |
|
> Hi danke für die Hilfe,
>
> wenn ich die Gleichung
> [mm]\ L(x,y,z,\lambda)\ =\ x^2+y^2+z^2-\lambda\cdot{}\left(\bruch{5x^2}{8}+\bruch{5y^2}{8}-\bruch{3xy}{4}-1\right)[/mm]
>
> benutze komme ich auf [mm]d_{min}[/mm] = 2
> und x = y = [mm]\pm \wurzel{2}[/mm] , z = 0.
>
> Kommt das hin?
>
> Danke Maba
Dies wäre jetzt wieder die "alte" Aufgabe, oder ?
Dann stimmt die Lösung jedenfalls nicht.
Gesucht sind Punkte mit minimalem Abstand
vom Ursprung.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
Hi,
jop bezieht sich wieder auf die Aufgabe ohne mein z ;)
und jaaaa ich hab die hälfte vergessen, also hab ich nun auch noch
x = y = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] also [mm] d_{min}=1 [/mm] raus.
ist das richtig?
Danke für die Hilfe Maba
|
|
|
| |
|
> Hi,
> jop bezieht sich wieder auf die Aufgabe ohne mein z ;)
> und jaaaa ich hab die hälfte vergessen, also hab ich nun
> auch noch
> x = y = [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] also [mm]d_{min}=1[/mm] raus.
>
> ist das richtig?
>
> Danke für die Hilfe Maba
Nach meiner Skizze stimmt x=y für die Minimalpunkte
nicht. Es müsste y=-x heißen. Der Minimalabstand stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
War blöd sollte ne Frage sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:41 Mi 18.05.2011 | | Autor: | maba |
Hi
Genau ich bekomme zwei [mm] \lambda [/mm] 's raus und zwar -1 und -4 und somit für
[mm] \lambda [/mm] = -1 => y = -x => d = 1
und für
[mm] \lambda [/mm] = -4 => y = x => d = 2
somit ist [mm] d_{min}=1 [/mm] für x = -y
erkennt man wenn man diese zwei [mm] \lambda [/mm] 's hat den Tiefpunkt nur an den Ergebnissen oder gibts ne andere Möglichkeit das zu überprüfen?
LG Maba
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Do 19.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ups, hab völlig überlesen, dass wir uns im [mm] \IR^3 [/mm] befinden.
|
|
|
|
