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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 12.06.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Sei m<n und [mm] A\in \R^{m \times n} [/mm] vom Rang m. Sei b [mm] \in \R^m. [/mm] Finde mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren jene Lösung von Ax=b, für die [mm] ||x||_2 [/mm] minimal ist. |
hallo zusammen,
Sei [mm] x=(x_1,...x_n) [/mm] und [mm] b=(b_1,....,b_m) [/mm] und [mm] f(x)=||x||_2 [/mm] und g(x)=Ax-b=0 als Nebenbedingungen.
dann ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}=\bruch{x_1}{||x||_2}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_n}=\bruch{x_n}{||x||_2} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] grad f= [mm] (\bruch{x_1}{||x||_2},...,\bruch{x_n}{||x||_2})
[/mm]
[mm] g(x)=Ax-b=\pmat{ a_{11}& \cdots a_{1n} \\\vdots & \vdots \\ a_{m1}& \ldots a_{mn}} \cdot \vektor{x_1 \\ \vdots\\ x_n}- \vektor{b_1\\ \vdots\\ b_m}= \vektor{\summe_{i=1}^{n}a_{1i}x_i-b_1\\ \vdots\\ \summe_{i=1}^{n}a_{mi}x_i-b_m}
[/mm]
und [mm] \bruch{\partial g}{\partial x_1}= \vektor{a_{11}\\\vdots \\ a_{m1}}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x_n}= \vektor{a_{1n} \\ \vdots \\a_{mn}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] gradg = [mm] (\vektor{a_{11}\\\vdots \\ a_{m1}},...,\vektor{a_{1n} \\ \vdots \\a_{mn}})
[/mm]
setze dann in grad f- [mm] \lambda [/mm] grad g=0
kann mir jemamnd dagen ob es bis hierhin richtig ist und kann mir jemand einen tipp geben, wie ich weitermachen kann. dankeschön im voraus.
gruß,
mimo1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Fr 13.06.2014 | | Autor: | hippias |
Dass hier etwas faul ist, ist doch klar: [mm] $\nabla [/mm] g$ ist eine [mm] $m\times [/mm] n$ Matrix, aber [mm] $\nabla [/mm] f$ nicht. Wenn Du aber nachliest, dann siehst du, dass die Nebenbedingungen reellwertige Funktionen sind. Also muesstest Du Deine vektorielle Nebenbedingung in reellwertige umformulieren.
Achte auch auf die Dimensionen, denn hinsichtlich der Zeilenzahl passen Deine Gradienten nicht zusammen.
Wenn Du nun die richtigen Gleichungen aufgestellt hast, musst Du die [mm] $x_{i}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{j}$ [/mm] berechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu hippias:
[mm] ||x||_2 [/mm] wird minimal [mm] \gdw \quad ||x||_2^2 [/mm] wird minimal.
FRED
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