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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 25.06.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Habe mich mal hingesetzt und angefangen für die Klausur zu lernen. Deswegen jetzt mal wieder ein "altes" Thema. Und zwar möchte ich gerne verstehen, wie man auf die Lagrange-Basis kommt.
Bei der Interpolation haben wir doch Werte [mm] x_i [/mm] und zugehörige [mm] f_i, [/mm] i=0,...,n und wollen ein Polynom P vom Grad n finden, so dass [mm] P(x_i)=f_i [/mm] gilt. Nun hätten wir mithilfe der Standardbasis folgendes LGS:
[mm] \pmat{1&x_0&x_0^2&...&x_0^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\1&x_n&x_n^2&...&x_n^n}\vektor{a_0\\\vdots\\a_n}=\vektor{f_0\\\vdots\\f_n}
[/mm]
Nun hatte ich aus irgendeinem Buch folgendes (sinngemäß): das linke ist die Vandermonde-Matrix und die Determinante davon ist [mm] \produkt_{i=0}^n\produkt_{j=i+1}^n(x_i-x_j) \to [/mm] zum Rechnen zu aufwändig.
Nun frage ich mich, was das mit der Determinante zu tun hat!?
Damit es einfacher wird, nimmt man also eine andere Basis - die Lagrange-Basis: [mm] L_i(x)=\produkt_{j=0, j\not=i}^n\bruch{x-x_j}{x_i-x_j}. [/mm] Für diese gilt: [mm] L_i(x_j)=\delta_{ij}
[/mm]
Wieso ist das überhaupt eine Basis und wie sieht denn dann das LGS aus?
Wenn ich das weiß, dann verstehe ich sicher auch, wie man auf [mm] P(x)=\summe_{i=0}^nf_iL_i(x) [/mm] kommt. Denn das würde mich langsam doch mal interessieren. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hey Bastiane,
cool, lernst du auch grad für Numerik ? Na ja, durch die Klausuren muss wohl jede(r), oder ? 
Ok, also wenn du die Basis 1, x, [mm] x^2 [/mm] und so nimmst, so ist dein LGS mit der Vandermonde-Matrix zwar lösbar, denn die Determinante ist ja [mm] \neq [/mm] 0,
aber du musst es halt auch lösen, und das bedeutet Rechenaufwand und eventuell numerische Instabilität (?).
Wenn du die Lagrange-Polynome
[mm] L_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
[/mm]
nimmst, so siehst du zuerst mal durch einsetzen, dass [mm] L_i(x_i)=1 [/mm] und [mm] L_i(x_j)=0 [/mm] für [mm] j\neq [/mm] i.
Jedes [mm] L_i [/mm] hat Grad n (bei Stützstellen [mm] x_0,\ldots [/mm] , [mm] x_n), [/mm] denn es ist eine Konstante mal ein Produkt von n linearen Termen [mm] x-x_j.
[/mm]
Warum bilden die [mm] L_i [/mm] eine Basis des Vektorraumes der Polynome vom Grad n ?
Nun, erstmal erzeugen sie diesen Vektorraum, denn wie du selber schreibst, können wir ein beliebiges Polynom p(x) vom Grad n
mit Stützstellen [mm] p(x_i)=f_i,0\leq i\leq [/mm] n schreiben als
[mm] p(x)=\sum_{i=0}^n f_i\cdot L_i(x)
[/mm]
Warum gilt diese Gleichung ? Nun, es gilt jedenfalls an den Stützstellen [mm] p(x_i)=f_i [/mm] (linke Seite) und auf der rechten Seite verschwinden
bei Einsetzen von [mm] x_i [/mm] halt alle Summanden bis auf [mm] f_i\cdot L_i(x_i)=f_i\cdot [/mm] 1.
Wir müssen also noch zeigen, dass die [mm] L_i [/mm] auch linear unabhängig sind.
Das ist aber klar, denn der Vektorraum hat ja Dimension n+1, und die [mm] L_i [/mm] sind ja n+1 Polynome, die den raum erzeugen.
Ok, hilft dir das weiter ? - Sonst frag halt nochmal nach.
Viele liebe Grüsse
just-math
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