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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 28.04.2005 | | Autor: | bionda |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe mehrere Fragen, auf die ich keine Antwort finde...
1) Warum können Ebenen im R³ nicht windschief sein?
2) Wie stellt man fest, ob 2 Geraden, eine Ebene zu einer Gerade oder eine Ebene zu einer Ebene orthogonal ist? Aber ohne diese komische Normalenform sondern in Parameterform...
3) Wie bestimme ich die Entfernung zweier Punkte im euklidischen Raum?
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Gruß
P.S. Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Do 28.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo bionda,
> 1) Warum können Ebenen im R³ nicht windschief sein?
Naja, damit zwei Objekte windschief sind müssten sie ja im Raum aneinander vorbei gehen. Das Problem ist, dass Ebenen so breit und lang sind, so dass daran nix vorbeipasst  Übrigens selbst so eine schmale schlanke Gerade kann im [mm] $\IR^3$ [/mm] nicht windschief zu einer Ebene sein.
Mathematisch gesehen führen diese Schnittprobleme zu einem linearen Gleichungssystem. Bei dem Lagebeziehung von einer Geraden zu einer Ebene führt dies zu einem GLS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten.
[mm] $r\cdot \vec{u}+s\cdot \vec{v}+t\cdot \vec{w}=\vec{p}-\vec{q}$
[/mm]
Diese Gleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die drei Richtungsvektoren von Ebene und Gerade nicht linear abhängig ist. Damit das Gleichungssystem keine Lösung hat müsste es mindestens überbestimmt sein, dies ist aber nur der Fall, wenn einer der Richtungsvektoren linear abhängig ist zu den anderen Beiden. Dann wären Gerade und Ebene aber parallel (bzw. identisch).
> 2) Wie stellt man fest, ob 2 Geraden, eine Ebene zu einer
> Gerade oder eine Ebene zu einer Ebene orthogonal ist? Aber
> ohne diese komische Normalenform sondern in
> Parameterform...
Gar nicht. Nur das Skalarprodukt gibt die Auskunft über Winkel zwischen Vektoren! (Ansonsten finde ich die Frage sehr komisch formuliert.)
> 3) Wie bestimme ich die Entfernung zweier Punkte im
> euklidischen Raum?
Durch zweifache Anwendung des Satzes von Pythagoras kannst du zeigen, dass die Länge eines Vektors gegeben wird durch [mm] $d(\vec{x})=\sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2}$. [/mm] Der Abstand zwischen zwei Punkten wird dann durch die Länge des Differenzvektors [mm] $\overrightarrow{PQ}$ [/mm] definiert.
Gruß Max
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