Lagebeziehung Ebene-Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 08.09.2007 | | Autor: | jane882 |
Hey!
Also mann kann ja anhand der Normalenvektoren von 2 Ebenen deren Lagebeziehung erkennen...
Sie sind identisch, parallel oder schneiden sich.
Ich weiß aber nur dass wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind, die Ebenen parallel zueinander sind...Wie müssen die Normalenvektoren bei den anderen 2 Fällen sein?
Danke:)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Der Fall "Ebenen sind identisch" ist ein Sonderfall bei Parallelität der beiden Ebenen [mm] $E_1 [/mm] \ [mm] \parallel [/mm] \ [mm] E_2$. [/mm] Wenn dies also der Fall ist und ein Punkt der einen Ebene [mm] E_1 [/mm] auch in der anderen Ebene [mm] E_2 [/mm] liegt, haben wir identische Ebenen: [mm] $E_1 [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] E_2$ [/mm] .
Sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen nicht kollinear (nicht linear abhängig), schneiden sich die beiden Ebenen in einer Schnittgerade.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 08.09.2007 | | Autor: | jane882 |
also ich bin jetzt in der 13, ich kann diese lage also nur anhand der normalenvektoren bestimmen...so kann ich das auch in meiner klausur machen,oder? das ist dann legitim?
beisiel wenn die ebenen parallel sind:
n:x* (2 4 3)= 6
n:x* (4 8 6)= 7
-> Ebenen sind parallel
n:x* ( 1 2 3)= 5
n:x* ( 4 5 8)= 7
-> Ebenen schneiden sich, aber wie kriege ich dann hier den Schnittpunkt heraus?
Und bei der Identität? Wie geh ich da vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 08.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> ...
> also ich bin jetzt in der 13, ich kann diese lage also nur
> anhand der normalenvektoren bestimmen...so kann ich das
> auch in meiner klausur machen,oder? das ist dann legitim?
>
> beisiel wenn die ebenen parallel sind:
> n:x* (2 4 3)= 6
> n:x* (4 8 6)= 7
> -> Ebenen sind parallel
>
> n:x* ( 1 2 3)= 5
> n:x* ( 4 5 8)= 7
> -> Ebenen schneiden sich, aber wie kriege ich dann hier
> den Schnittpunkt heraus?
Am besten, du setzt die Parameterform der Einen GEraden in die Normalenform der Anderen ein. Dann erhältst du eine Gleichung, aus der du eine Beziehung zwischen den Parametern bekommst, also z.B.: [mm] \lambda=2\mu+1
[/mm]
Das setzt du dann in die Parameterform ein, und formst ein wenig um, dann steht deine Schnittgerade da.
Also: BSP:
[mm] E_{1}:\green{\vektor{1\\1\\2}}*\vektor{x\\y\\z}=4
[/mm]
[mm] E_{2}: \vec{x}=\vektor{\red{0}\\1\\0}+\lambda\vektor{\red{1}\\0\\1}+\mu\vektor{\red{1}\\1\\1}
[/mm]
[mm] E_{2} [/mm] in [mm] E_{1} [/mm] eingesetzt ergibt: [mm] \green{1}(\red{0+\lambda+\mu})+\green{1}(1+\mu)+\green{2}(\lambda+\mu)=4
[/mm]
[mm] \gdw 3\lambda+3\mu=4
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=\bruch{4}{3}-\mu
[/mm]
Das ganze mal in [mm] E_{2} [/mm] eingesetzt:
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\1\\0}+(\bruch{4}{3}-\mu)\vektor{1\\0\\1}+\mu\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\1\\0}+\vektor{\bruch{4}{3}\\0\\\bruch{4}{3}}-\mu\vektor{1\\0\\1}+\mu\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{\bruch{4}{3}\\1\\\bruch{4}{3}}+\mu\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
>
>
> Und bei der Identität? Wie geh ich da vor?
>
Identität gibt es ja nur bei schon Parallelen Ebenen. Also: Sind [mm] E_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] Parallel, dann prüfst du, ob in Punkt, der auf [mm] E_{1} [/mm] liegt, auch auf [mm] E_{2} [/mm] liegt. Ist das der Fall, sind die Ebenen Identisch, sonst nur Parallel.
Generell würde ich zuerst auf Parallelität der Ebenen prüfen, das geht meist sehr schnell.
Wenn ja, Prüfen, auf Identität, sonst gibt es eine Schnittgerade.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 08.09.2007 | | Autor: | jane882 |
vielen dank marius das habe ich vestanden und
( 4/3 1 4/3)* Mü ( 0 1 0) ist dann meine Schnittgerade?!
....................
Zur Parallelität, das kann man dann also schnell mit den Normalenvektoren überprüfen, wenn linear abhänhig dann parallel
...................
Identität habe ich so leider noch nicht verstanden:( Ich weiß,dass ist voll die Mühe sich da Beispiele auszudenken, aber ich verstehe das wirklich nur dadurch...Und ich danke dir da echt voll für! Du rettest meine Klausur :)
Bitte gib mir dazu auch ein Beispiel:(
Danke danke danke !!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
> ( 4/3 1 4/3)* Mü ( 0 1 0) ist dann meine Schnittgerade?!
Nicht ganz, da hat sich M.Rex vertippt:
$$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\bruch{4}{3} \\ 1 \\ \bruch{4}{3}} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \mu*\vektor{0\\1\\0}$$
[/mm]
> ....................
> Zur Parallelität, das kann man dann also schnell mit den
> Normalenvektoren überprüfen, wenn linear abhänhig dann
> parallel
> ...................
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
> Identität habe ich so leider noch nicht verstanden:( Ich
> weiß,dass ist voll die Mühe sich da Beispiele auszudenken,
> aber ich verstehe das wirklich nur dadurch...Und ich danke
> dir da echt voll für! Du rettest meine Klausur :)
Nimm Dir einen beliebigen Punkt der Ebene [mm] E_1 [/mm] und setze ihn in die Ebenengleichung von [mm] E_2 [/mm] ein. Wird dadurch die Ebenengleichung erfüllt, sind die Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] nicht nur parallel sondern gar identisch.
Beispiel:
[mm] $$E_1 [/mm] \ : \ [mm] \vektor{3\\4\\-2}*\vec{x} [/mm] \ = \ 5$$
[mm] $$E_2 [/mm] \ : \ -6x-8y+4z+10 \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 08.09.2007 | | Autor: | jane882 |
einen schritt habe ich noch nicht ganz raus
x= (0 1 0)+ (4/3- Mü)* ( 1 0 1)+ Mü ( 1 1 1)
= (0 1 0)+ (4/3 0 4/3)- Mü ...wie bist du hier drauf gekommen?
Und dann bei der Schnittgeraden? Hast du den Vektor(10 1) und ( 1 1 1) einfach weggelassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
> x= (0 1 0)+ (4/3- Mü)* ( 1 0 1)+ Mü ( 1 1 1)
>
> = (0 1 0)+ (4/3 0 4/3)- Mü ...wie bist du hier drauf gekommen?
Hier hat M.Rex wie folgt zusammengefasst:
[mm] $$\left(\bruch{4}{3}-\mu\right)*\vektor{1\\0\\1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*\vektor{1\\0\\1}-\mu*\vektor{1\\0\\1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\bruch{4}{3} \\ 0 \\ \bruch{4}{3}}-\mu*\vektor{1\\0\\1}$$
[/mm]
> Und dann bei der Schnittgeraden? Hast du den Vektor(10 1)
> und ( 1 1 1) einfach weggelassen?
Nein, auch hier wurden die entsprechenden Vektoren zusammengefasst.
Gruß
Loddar
PS: Und noch eine Bitte ... nach über 350 Artikeln und 1,5 Jahren Mitgliedschaft hier im MatheRaum, wäre es von Dir nicht zuviel verlangt, wenn Du Dich mit unserem Formeleditor vertraut machst. Das macht die Aufgaben / Fragen wesentlich leichter zu lesen / verstehen und entsprechend zu korrigieren.
|
|
|
|
