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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 04.03.2012 | | Autor: | Ronjaaa |
| Aufgabe 1 | 1. Die Gerade g durchstößt jeweils die Ebene E in einem Punkt. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Durchstoßpunktes S.
a) [mm] \vektor{7 \\ -13 \\ -4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ -8 \\ -5} [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] E IR
E: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} -x_{3} [/mm] + 10 = 0 |
| Aufgabe 2 | 2. Zeigen Sie jeweils, dass die Gerade g zur Ebene E parallel ist.
g: X = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] ; [mm] \lambda [/mm] E IR
E: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] - 3 = 0 |
| Aufgabe 3 | 3. Gegeben ist jeweils eine Gerade g und eine Ebene E. Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt.
g: X = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] ; [mm] \lamda [/mm] E IR
E: X = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \nu \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] \mu [/mm] , [mm] \nu [/mm] E IR |
Hallo,
ich hoffe, mir kann jemand bei diesen Aufgaben helfen. Ich bin am Verzweifeln.
zu 1.) Hier habe ich drei Teilgleichungen gebildet:
I. 7 + 3 [mm] \lambda [/mm] = [mm] 2x_{1}
[/mm]
II. -13 - 8 [mm] \lambda [/mm] = [mm] -2x_{2}
[/mm]
III. -4 - 5 [mm] \lambda [/mm] = [mm] -x_{3}
[/mm]
Dann habe ich die Ebenengleichung so umgeformt:
7+3 [mm] \lambda [/mm] - 13 - 8 [mm] \lambda [/mm] - 4 - [mm] 5\lambda [/mm] + 10 = 0
-10 [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] = 0
Dann habe ich [mm] \lambda [/mm] = 0 in die Gerade eingesetzt, was zum Punkt S [mm] \vektor{7 \\ -13 \\ -4} [/mm] führte.
Stimmt das so oder muss ich anders rechnen?
Zu 2.)
Hier bin ich ehrlich gesagt ziemlich überfragt.
Muss ich hier wieder drei Teilgleichungen formen und jeweils [mm] \lamda [/mm] ausrechnen? Wenn ja, was muss dann gelten, damit Ebene & Gerade parallel sind? Muss jeweils ein gleiches [mm] \lamda [/mm] rauskommen oder ein unterschiedliches?
Zu 3.)
Hier bin ich wiederum komplett überfragt. Muss ich hier wieder Teilgleichungen bilden? Wäre sehr dankbar, wenn mir hier jemand den Rechenweg erklären könnte.
Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte, mir zu helfen. Es ist nämlich sehr wichtig.
Danke im Voraus.
LG Ronja
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> 1. Die Gerade g durchstößt jeweils die Ebene E in einem
> Punkt. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses
> Durchstoßpunktes S.
>
> a) [mm]\vektor{7 \\
-13 \\
-4}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{3 \\
-8 \\
-5}[/mm]
> ; [mm]\lambda[/mm] E IR
> E: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2} -x_{3}[/mm] + 10 = 0
> zu 1.) Hier habe ich drei Teilgleichungen gebildet:
> I. 7 + 3 [mm] $\lambda$ [/mm] = [mm] $2x_{1}$
[/mm]
> II. -13 - 8 [mm] $\lambda$ [/mm] = [mm] $-2x_{2}$
[/mm]
> III. -4 - 5 [mm] $\lambda$ [/mm] = [mm] $-x_{3}$
[/mm]
>
> Dann habe ich die Ebenengleichung so umgeformt:
> 7+3 [mm] $\lambda$ [/mm] - 13 - 8 [mm] $\lambda$ [/mm] - 4 - [mm] $5\lambda$ [/mm] + 10 = 0
> -10 [mm] $\lambda$ [/mm] = 0
> [mm] $\lambda$ [/mm] = 0
>
> Dann habe ich [mm] $\lambda$ [/mm] = 0 in die Gerade eingesetzt, was
> zum Punkt S [mm] $\vektor{7 \\ -13 \\ -4}$ [/mm] führte.
Hallo,
wenn Du diesen Punkt mal in die Ebenengleichung einsetzt, stellst Du fest, daß er die Ebenengleichung gar nicht löst, was ja eine ziemliche Panne ist...
Du weißt doch, daß man alle Punkte [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] , die auf der Geraden g liegen, schreiben kann als
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} =$\vektor{7 \\ -13 \\ -4}$ [/mm] + [mm] $\lambda \vektor{3 \\ -8 \\ -5}$ [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Aus den drei "Etagen" ergeben sich drei Gleichungen
[mm] x_1=...
[/mm]
[mm] x_2=...
[/mm]
[mm] x_3=...,
[/mm]
die Du dann in die Ebenengleichung einsetzen kannst.
Dann so weitermachen, wie zuvor.
> 2. Zeigen Sie jeweils, dass die Gerade g zur Ebene E
> parallel ist.
>
> g: X = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-1 \\
2 \\
0}[/mm]
> ; [mm]\lambda[/mm] E IR
> E: [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3}[/mm] - 3 = 0
Wenn g parallel ist zu E, muß der Richtungsvektor der Geraden parallel zu E sein, also senkrecht zum Normalenvektor von E...
Andere Möglichkeit:
Du gehst vor wie zuvor.
Wenn die entstehende Gleichung durch kein [mm] \lambda\in \IR [/mm] gelöst wird, es also keinen Schnittpunkt gibt, ist g echt parallel zu E,
wird die Gleichung für alle [mm] \lambda [/mm] gelöst, so liegt liegt g in E (ist also auch parallel zu E):
> 3. Gegeben ist jeweils eine Gerade g und eine Ebene E.
> Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt.
>
> g: X = [mm]\vektor{2 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
> ; [mm]\lamda[/mm] E IR
> E: X = [mm]\vektor{2 \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] + [mm]\nu \vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] ; [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] E IR
Du kannst zeigen, daß der Stützpunkt von g, der Punkt (2|1|1), in E liegt, und daß man den Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene schreiben kann.
Oder Du arbeitest wieder mit dem Normalenvektor von E.
Oder Du setzt die beiden Gleichungen gleich und stellst fest, daß es unendlich viele Lösungen gibt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 04.03.2012 | | Autor: | Ronjaaa |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich habe die Aufgaben nun noch einmal gerechnet, wäre nett, wenn Sie noch einmal kurz darüber schauen könnten.
1.) I. [mm] x_{1} [/mm] = 7+3 [mm] \lambda
[/mm]
II. [mm] x_{2} [/mm] = -13 - 8 [mm] \lambda
[/mm]
III. [mm] x_{3} [/mm] = -4 - 5 [mm] \lamda
[/mm]
in E.: 14 + 6 [mm] \lambda [/mm] - (-26-16 [mm] \lambda [/mm] ) - (- 4 - 5 [mm] \lambda [/mm] ) + 10 = 0
27 [mm] \lambda [/mm] + 54 = 0
[mm] \lambda [/mm] = -2
in g (x) : S [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
2.) I. [mm] x_{1} [/mm] = 2 - [mm] \lambda
[/mm]
II. [mm] x_{2} [/mm] = 2 + [mm] 2\lambda
[/mm]
III. [mm] x_{3} [/mm] = 1
in E: 4 - 2 [mm] \lambda [/mm] + 2 + 2 [mm] \lambda [/mm] - 3 - 3 = 0
- 4 [mm] \not= [/mm] 0
--> kein Schnittpunkt --> Parallel
[Müsste ich hier eigentlich noch beweisen, dass Gerade und Ebene nicht windschief sind? Oder gibt es das bei Gerade und Ebene überhaupt?]
3.)
Möglichkeit 1: [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in [/mm] E:x ?
--> I. 2 = 2 (r.)
II. 1 = [mm] \mu
[/mm]
III. 1 = [mm] \nu
[/mm]
[beweisen diese Teilgleichungen eigentlich schon, dass der Punkt in der Ebene liegt? Da ich 1 = [mm] \mu [/mm] und 1 = [mm] \nu [/mm] ja eigentlich nicht überprüfen kann, ob die richtig sind.]
Determinante der drei Richtungsvektoren ergibt Null --> lineare Abhängigkeit vorhanden --> Gerade parallel zu Ebene
--> Gerade liegt in Ebene
Möglichkeit 2:
Ebene in Normalenform: x-_{1} - 2 = 0
[mm] x_{1} [/mm] von g(x) ein: 2 - 2 = 0 (wahre Aussage)
--> Gerade liegt in Ebene
LG Ronja
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Hallo Ronjaaa,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
>
> Ich habe die Aufgaben nun noch einmal gerechnet, wäre
> nett, wenn Sie noch einmal kurz darüber schauen könnten.
>
Wir sind hier alle per "Du".
> 1.) I. [mm]x_{1}[/mm] = 7+3 [mm]\lambda[/mm]
> II. [mm]x_{2}[/mm] = -13 - 8 [mm]\lambda[/mm]
> III. [mm]x_{3}[/mm] = -4 - 5 [mm]\lamda[/mm]
>
> in E.: 14 + 6 [mm]\lambda[/mm] - (-26-16 [mm]\lambda[/mm] ) - (- 4 - 5
> [mm]\lambda[/mm] ) + 10 = 0
> 27 [mm]\lambda[/mm] + 54 = 0
> [mm]\lambda[/mm] = -2
>
> in g (x) : S [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) I. [mm]x_{1}[/mm] = 2 - [mm]\lambda[/mm]
> II. [mm]x_{2}[/mm] = 2 + [mm]2\lambda[/mm]
> III. [mm]x_{3}[/mm] = 1
>
> in E: 4 - 2 [mm]\lambda[/mm] + 2 + 2 [mm]\lambda[/mm] - 3 - 3 = 0
> - 4 [mm]\not=[/mm] 0
Hier steht doch:
[mm]\left(4+2-3-3\right)+ \left( - 2 \lambda + 2 \lambda\right) = 0[/mm]
Demnach unendlich viele Schnittpunkte.
> --> kein Schnittpunkt --> Parallel
>
> [Müsste ich hier eigentlich noch beweisen, dass Gerade und
> Ebene nicht windschief sind? Oder gibt es das bei Gerade
> und Ebene überhaupt?]
>
> 3.)
> Möglichkeit 1: [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in[/mm] E:x ?
> --> I. 2 = 2 (r.)
> II. 1 = [mm]\mu[/mm]
> III. 1 = [mm]\nu[/mm]
>
> [beweisen diese Teilgleichungen eigentlich schon, dass der
> Punkt in der Ebene liegt? Da ich 1 = [mm]\mu[/mm] und 1 = [mm]\nu[/mm] ja
> eigentlich nicht überprüfen kann, ob die richtig sind.]
>
> Determinante der drei Richtungsvektoren ergibt Null -->
> lineare Abhängigkeit vorhanden --> Gerade parallel zu
> Ebene
>
> --> Gerade liegt in Ebene
>
> Möglichkeit 2:
>
> Ebene in Normalenform: x-_{1} - 2 = 0
> [mm]x_{1}[/mm] von g(x) ein: 2 - 2 = 0 (wahre Aussage)
>
> --> Gerade liegt in Ebene
>
> LG Ronja
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 04.03.2012 | | Autor: | Ronjaaa |
Dankeschön :)
Aber in Aufgabe 2. hieß es, ich solle beweisen, dass die Gerade parallel zur Ebene ist. Wie kann es dann da Schnittpunkte geben?
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Hallo Ronjaaaa,
> Dankeschön :)
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> Aber in Aufgabe 2. hieß es, ich solle beweisen, dass die
> Gerade parallel zur Ebene ist. Wie kann es dann da
> Schnittpunkte geben?
Der Aufpunkt der Geraden liegt in der Ebene.
Für echte Parallelität darf der Aufpunkt nicht in der Ebene liegen.
Gruss
MathePower
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