Lage von E,Koordinate von S < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Das Quardat ABCD legt [mm] E_{1}fest, [/mm] und ist Grundfläche einer regelmaßigen Pyramide. Der Fußpunkt der Pyramidenhöhe liegt damit im Diagonalenschnittpunkt des Quadrats. Die Spitze der Pyramide liegt in [mm] E_{2} [/mm] mit der Gleichung:
[mm] \vec{x}=r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Beschreibe die Lage von [mm] E_{2}und [/mm] berechne die Koordinaten von S. |
Hallo, das ist die Aufgabe. Ich fang mal so an.
Der Fußpunkt der Pyramidenspitze liegt im Diagonalenschnittpunkt, heisst das wenn ich den Schnittpunkt der Diagonalen ermittelt habe ist die Pyramidenspitze der Spiegelpunkt? Setze ich dann den Spiegelpunkt in die Gleichung [mm] \vec{x}=.... [/mm] als Ortsvektor ein? Aber wie könnte ich dann die Koordinaten von S bestimmen?
Danke für jeden Tip
Beliar
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Hey!
> Das Quardat ABCD legt [mm]E_{1}fest,[/mm] und ist Grundfläche einer
> regelmaßigen Pyramide. Der Fußpunkt der Pyramidenhöhe liegt
> damit im Diagonalenschnittpunkt des Quadrats. Die Spitze
> der Pyramide liegt in [mm]E_{2}[/mm] mit der Gleichung:
> [mm]\vec{x}=r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> Beschreibe die Lage von [mm]E_{2}und[/mm] berechne die Koordinaten
> von S.
> Hallo, das ist die Aufgabe. Ich fang mal so an.
> Der Fußpunkt der Pyramidenspitze liegt im
> Diagonalenschnittpunkt,
Genau! Stelle dann eine Gerade auf, auf der die Pyramidenspitze liegt. D.h also nimm den Diagonalenschnittpunkt als Stützvektor und den Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] als Richtungsvektor. Dann musst du nur noch ausrechnen wo diese Gerade die Ebene [mm] E_2 [/mm] schneidet und du hast deine Pyramidenspitze.
> heisst das wenn ich den
> Schnittpunkt der Diagonalen ermittelt habe ist die
> Pyramidenspitze der Spiegelpunkt? Setze ich dann den
> Spiegelpunkt in die Gleichung [mm]\vec{x}=....[/mm] als Ortsvektor
> ein? Aber wie könnte ich dann die Koordinaten von S
> bestimmen?
> Danke für jeden Tip
> Beliar
Gruß Patrick ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
also ich komme nicht zur Spitze 
habe folgendes gemacht.Denn Diagonalenschnittpunkt mit
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] bestimmt.
[mm] D_{s} [/mm] ist (3;-3;3) jetzt sollte die neue Gerade die, die
Pyramidenspitze durchstößt ja so aussehen:
g(x)= [mm] \vektor{3 \\ -3 \\3}+ [/mm] t [mm] \vektor{1 \\ 2 \\2}dem [/mm] Normalenvektor der Ebene 1. Aber wie komme ich zur Spitze in Ebene 2 ??
Danke für jeden Tip
Beliar
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> Hallo,
> also ich komme nicht zur Spitze
> habe folgendes gemacht.Denn Diagonalenschnittpunkt mit
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BD}[/mm] bestimmt.
> [mm]D_{s}[/mm] ist (3;-3;3) jetzt sollte die neue Gerade die, die
> Pyramidenspitze durchstößt ja so aussehen:
> g(x)= [mm]\vektor{3 \\ -3 \\3}+[/mm] t [mm]\vektor{1 \\ 2 \\2}dem[/mm]
> Normalenvektor der Ebene 1. Aber wie komme ich zur Spitze
> in Ebene 2 ??
> Danke für jeden Tip
> Beliar
Wandle [mm] E_2 [/mm] in Koordinatenform um und setze dann die Gerade Zeilenweise ein. Also hier ist ja: [mm] $E_2: x_1=0$. [/mm] Nun g einsetzen: $3+t=0$. Diese Gleichung musst du noch t auflösen und wieder in g einsetzen, dann bekommst du den Schnittpunkt.
Dies ist die einfachste Variante ein Schnittpunkt von einer Geraden und einer Ebene auszurechne.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
aber [mm] E_{2}habe [/mm] ich ja noch nicht, oder ist [mm] E_{2}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\3}+ [/mm] r [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] + [mm] s\vektor{0 \\ 0 \\1}. [/mm]
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> Hallo,
> aber [mm]E_{2}habe[/mm] ich ja noch nicht, oder ist [mm]E_{2}[/mm]
> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ -3 \\3}+[/mm] r [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm] +
> [mm]s\vektor{0 \\ 0 \\1}.[/mm]
Fast. [mm] E_2 [/mm] ist:
[mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+[/mm] r [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm] + [mm]s\vektor{0 \\ 0 \\1}.[/mm]
bzw: (da der Stützvektor [mm] \vec{0} [/mm] ist)
[mm] \vec{x}= [/mm] r [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm] + [mm]s\vektor{0 \\ 0 \\1}.[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
klappt nicht bekomme für t drei verschiedene Werte, 3;-1,5 und 1,5
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Am besten ist immer, wenn du die Rechenschritte mit aufschreibst hier, sonst kann man dir schlecht sagen, wo dein Fehler liegt.
Also nochmal Schritt für Schritt:
[mm] E_2: [/mm] $ [mm] \vec{x}=r\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] $
Diese in Koordinatenform umschreiben. Dazu muss der Normalenvektor berechnet werden: [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Also ist [mm] E_2: 1x_1+0x_2+0x_3=b. [/mm] Da die Ebene durch den Ursprung geht ist b=0. Also [mm] E_2: x_1=0.
[/mm]
Betrachte jetzt deine Gerade:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -3 \\3}+t \vektor{1 \\ 2 \\2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] x_1=3+t
[/mm]
[mm] x_2=-3+2t
[/mm]
[mm] x_3=3+2t
[/mm]
Setze dies in die Ebene ein: 3-t=0 [mm] \gdw [/mm] t=3
Also musst du in die Gerade für t 3 einsetzen:
[mm] \vektor{3 \\ -3 \\3}+3 \vektor{1 \\ 2 \\2}
[/mm]
Daraus erhälst du den SChnittpunkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Kann ich denn nicht so vorgehen?
Ich habe doch den Fußpunkt, und den Normalenvektor von E1.
damit bilde ich die Gerade: Fußpunkt+Normalenvektor.
Setze das mit E2 gleich und fertig?
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Ja, das kommt auf das gleiche hinaus, da du auch hier den Schnittpunkt von einer Geraden und einer Ebene ausrechnest.
Wenn dir dies vertrauter ist, als mit dem Umrechnen in die Koordinatenform und dem Einsetzen, kannst du auch gerne Gerade und Ebene gleichsetzen.
Das ist nur meisten komplizierter, deswegen habe ich es oben über den anderen Weg gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
also ich findeinfacher so, eine letzte Frage, mit dem Normalenvektor von E1 liege ich aber richtig,oder?
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Du hast leider in der Aufgabenstellung die Punkte ABCD nicht angegeben. Vondaher kann ich nicht wissen wie [mm] E_1 [/mm] aussieht. Auch den Diagonalenschnittpunkt konnte ich nicht auf Richtigkeit überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 24.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Okay da sind sie A(3;0;0)B(7;-4;2)C(3;-6;6)D(-1;-2;4)
daraus ist mein E1=(3;0;0)+u(4;-4;2)+t(-4;-2;4) mein u=0,5 und t=0,5
ergaben DSPunkt von (3;-3,3) und als Normalenvektor(1;2;2)
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Hey, stimmt alles
Viele Grüße Patrick
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