Lage der Gerade zur Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Fr 11.05.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Welche Lage hat die Gerade $g: [mm] \vec [/mm] x$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\lambda$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] zu der Ebene $e: [mm] \vec [/mm] x$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa_1$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$ $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm] ?
Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. |
Hallo zusammen,
hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand anschaut und sagt, ob es passt? Vielen Dank im Voraus.
Prüfung auf Parallelität:
I: 1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$
[/mm]
II: 0 = [mm] -$\kappa_1$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$
[/mm]
III: -1 = [mm] -$\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$
[/mm]
I+III: 0 = [mm] -2$\kappa_2$
[/mm]
[mm] $\kappa_2$ [/mm] = 0
1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm] - 0
1 = [mm] $\kappa_1$ [/mm] in II: 0 = -1 + 0 --> 0 = -1 Widerspruch!
Gerade g nicht parallel zur Ebene e.
Berechnung Schnittpunkt:
I: 2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$
[/mm]
II: 1 = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] + [mm] $\kappa_2$
[/mm]
II: -1 - [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] - [mm] $\kappa_2$
[/mm]
I+III: 1 = 3 - 2 [mm] $\kappa_2$
[/mm]
-2 = -2 [mm] $\kappa_2$
[/mm]
1 = [mm] $\kappa_2$ [/mm] in II:
1 = 1 - [mm] $\kappa_1$ [/mm] +1
0 = 1 - [mm] $\kappa_1$
[/mm]
-1 = [mm] -$\kappa_1$
[/mm]
1 = [mm] $\kappa_1$
[/mm]
[mm] $\kappa_1$ [/mm] = 1 und [mm] $\kappa_2$ [/mm] = 1 in I:
2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2 + 1 - 1
2 + [mm] $\lambda$ [/mm] = 2
[mm] $\lambda$ [/mm] = 0 in Gerade g:
2 + 0 * 1 = 2
1 + 0 * 0 = 1
-1 + 0 * (-1) = -1
Schnittpunkt der Gerade g mit Ebene e lautet [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
> Welche Lage hat die Gerade [mm]g: \vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\lambda[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] zu der
> Ebene [mm]e: \vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\kappa_1[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\kappa_2[/mm] [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] ?
>
> Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
> Hallo zusammen,
>
> hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand anschaut
> und sagt, ob es passt? Vielen Dank im Voraus.
>
>
> Prüfung auf Parallelität:
>
> I: 1 = [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
> II: 0 = -[mm]\kappa_1[/mm] + [mm]\kappa_2[/mm]
> III: -1 = -[mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>
>
> I+III: 0 = -2[mm]\kappa_2[/mm]
> [mm]\kappa_2[/mm] = 0
>
> 1 = [mm]\kappa_1[/mm] - 0
> 1 = [mm]\kappa_1[/mm] in II: 0 = -1 + 0 --> 0 = -1 Widerspruch!
>
> Gerade g nicht parallel zur Ebene e.
>
>
> Berechnung Schnittpunkt:
>
> I: 2 + [mm]\lambda[/mm] = 2 + [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
> II: 1 = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] + [mm]\kappa_2[/mm]
> II: -1 - [mm]\lambda[/mm] = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] - [mm]\kappa_2[/mm]
>
> I+III: 1 = 3 - 2 [mm]\kappa_2[/mm]
> -2 = -2 [mm]\kappa_2[/mm]
> 1 = [mm]\kappa_2[/mm] in II:
>
> 1 = 1 - [mm]\kappa_1[/mm] +1
> 0 = 1 - [mm]\kappa_1[/mm]
> -1 = -[mm]\kappa_1[/mm]
> 1 = [mm]\kappa_1[/mm]
>
> [mm]\kappa_1[/mm] = 1 und [mm]\kappa_2[/mm] = 1 in I:
>
> 2 + [mm]\lambda[/mm] = 2 + 1 - 1
> 2 + [mm]\lambda[/mm] = 2
> [mm]\lambda[/mm] = 0 in Gerade g:
>
> 2 + 0 * 1 = 2
> 1 + 0 * 0 = 1
> -1 + 0 * (-1) = -1
>
> Schnittpunkt der Gerade g mit Ebene e lautet
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Du hast alles richtig gemacht. Allerdings hättest du dir die gesonderte Untersuchung auf Parallelität schenken können.
Denn, wenn du genau einen gemeinsamen Punkt erhälst, dann sind Gerade und Ebene nicht parallel. Bekommst du bei der Schnittpunktsberechnung keine Lösung ist die Gerade parallel zur Ebene. Bekommst du unendlich viele Lösungen, dann liegt die Gerade in der Ebene.
Gruß
Sigrid
|
|
|
|
