Lage d. Gerade g in Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
| Aufgabe | Die Ebene e enthält die Punkte A, B, [mm] C_{1}
[/mm]
Untersuchen Sie die Lage der Geraden g (aus Teilaufgabe c) bezüglich der Ebene e!
A(1;6;-5); B(7;9;1) ; C(t;7;-t) --> [mm] C_{1} [/mm] (1; 7; -1)
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 7 \\ -2} [/mm] + r * [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ -10}
[/mm]
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Hallo Leute!
Hab das mal versucht durchzurechnen, aber komme ab nen bestimmten Punkt einfach nich mehr weiter!
Weiß einfach nich wo mein Fehler ist, wäre super wenn ihr mir helfen könnte!
Hier erstmal meine Rechnung:
e: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
e: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ -5} [/mm] + s * [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Lösungsweg:
[mm] \vektor{2 \\ 7 \\ -2} [/mm] + r * [mm] \vektor{6 \\ -1 \\ -10} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ -5} [/mm] + s * [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
I 2 + 6r = 1 + 6s
II 7 - r = 6 + 3s + t
III -2 - 10r = -5 + 6s + 4t
I 6r - 6s = -1
II -r - 3s - t = -1
III -10r - 6s - 4t = -3
IV = I - III 16r - 4t = 2
V = I - 2II 8r + 2t = 1
IV - 2V -8t = 1
t = [mm] -\bruch{1}{8}
[/mm]
--> 8r + 2 * [mm] -\bruch{1}{8} [/mm] = 1
8r = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
r = [mm] \bruch{3}{32}
[/mm]
???
Kann doch nich stimmem oder? weiß aber auch nich wo mein Fehler liegt...
Habs auch mit der parameterfreien Gleichung probiert, aber da komm ich irgendwann auch nich mehr weiter...
Habt ihr vielleicht noch ne Idee?
Wäre echt klasse!
Liebe Grüße
Iduna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich die Aufgabe überflogen haben, scheinen deine Richtungsvektoren zu stimmen.
Nun gut, wenn du jetzt heruasbekommst, dass ein kein r gibt, für das die Ebene gleich der Geraden ist, und es sich NICHT um ein Rechenfehler handelt, so muss eine bestimmte Situation vorliegen.
Ich versuche es noch einmal deutlicher zu machen:
Du suchst doch jetzt einen Parameter r, für den die Punkte der Gerade IN der Ebene E liegt.
Einmal muss r dafür irgendetwas sein, gleichzeitig soll r aber eine andere Zahl annehmen.
Was sagt uns das bezüglich des Schnittpunktes?
Exisitiert einer, exisitiert keiner?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
Hallo!
Ich wollte bei der Rechnung eigentlich nachweisen, ob die Gerade g parallel zu der Ebene liegt und nichts mit Schnittpunkten?!
Aber wie gesagt, dadurch dass halt so komische Ergebnisse rauskommen, wusst ich halt nicht weiter...
Hat vielleicht noch jemand ne Idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das hast du doch durch die Rechnung nachgewiesen.
Da dein r zwei verschiedene Werte zur gleichen Zeit annehmen soll, gibt es KEIN r, für dass die Gerade die Ebene schneidet.
D.h. es gibt KEINEN Schnittpunkt.
Wenn es keinen Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene gibt, was heißt das für die Lage zwischen der Gerade und der Ebene?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
ja schon klar, wenn die sich nicht schneiden, müssen sie parallel sein...
aber versteh immer noch nich, mit dem, dass r 2 werte zur gleichen zeit annehmen soll?! was meinst du denn damit?
ich hatte t und r ausgerechnet. s hatte ich dann nich mehr ausgerechnet, weil bei r so komische ergebnisse auskamen... ja...
und was soll nu mit dem r sein?
tut mir leid, kapier ich nich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Achso, sry, hatte mich da verguckt.
Also, dann sag ichs mal so:
Die Gerade g IST parallel zur Ebene E.
Das kannst du dann nachweisen, indem du das Gleichungssystem ausrechnest, und dann irgendwo einen Widerspruch findest .
Meist ist es dann sowas, dass dann da steht
I r=5
II r=-6
oder so etwas ähnliches.
Es geht auch, wenn du eine allgemeingültige Aussage hinbekommst, wie z.B: 5=5, denn dann liegt die Gerade in der Ebene E!
Bei dir musst du dann mal die Rechnung fortführen.
Werde mal sehen, das ich die Rechnnung gleich selbst noch weiterführe.
Zu deinem Ergebnis: Dazu kann ich momentan nichts sagen, aber von solchen Zahlen wie r=irgendein Bruch solltest du dich nicht abschrecken lassen, das ist nicht selten, dass so etwas herauskommt.
Slaín,
Kroni
EDIT:
Habe deine Rechnung mal weitergeführt, und den Fehler gefunden:
Du schreibst einmal
IV = I - III
Dort muss es dann heißen
16r+4t=2 und nicht 16r-4t=2
Der Rest stimmt.
Wenn du die Rechnung dann weiterführst, wirst du ein Ergebnis herausbekommen, welches deiner Überschrift entspricht.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
ok, hab ich soweit kapiert.
ist mir auch klar, dass wenn ich am ende nen widerspurch hab, dass die grade zur eben dann nicht parallel ist...
aber nochmal ne Frage zu dem r 
Wie kann dann bei zB
I r = 5
und II r= -6
rauskommen?
ich rechnne durch umstellen, irgendwo das r aus...
da kann ich doch nich verschiedene werte haben?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
ah, alles klar
das kann möglich sein... danke dir...
dann werd ichs jetzt so nochmal durchrechnen.
hoff ich bau dann nich nochmal nen Fehler ein...
Also danke dir vielmals ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
Bei mir kommt dann
0 = 1 raus.
das hieße ja, dass die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt, ne?
d.h. dann, dass es nen schnittpunkt geben muss, ne?
und den muss ich jetzt noch berechnen oder?
hmmm....
oder hattest du was andres raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Ich bekomme heraus:
16r+4t=2
8r+2t=1
Soweit solltest du auch noch gekommen sein
Dann multiplizert man die untere Gelciung mit -2:
16r+4t=2
-16r-4t=-2
Und nun addiert man:
0+0=0
=> Allgemeingültig.
D.h. die Gerade liegt IN der Ebene
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
hm, stimmt... hatte mich verguckt...
hab jetzt auch 0+0 = 0
ok, also dadurch, dass die aussage wahr ist, kann man nun sagen, dass die Gerade in der Ebene liegt...
und wie war das nun nochmal mit der Parallelität? kann man dazu jetzt auch was sagen?
weiß grad nich genau...
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Hi Iduna
Sorry, wenn ich mich einmische, aber ich dachte vielleicht solltest du dir eine Übersicht machen, was welche Resultate genau bedeuten.
Eine Ebene und eine Gerade können in 3 Lagen zueinander stehen
1) in einem Punkt schneidend,
2) parallel (nicht schneidend) oder
3) die Gerade liegt auf der Ebene (in allen Punkten der Gerade schneidend)
Wenn du eine Ebene und eine Gerade gleichsetzt, will man im Normalfall den Schnittpunkt der Ebene mit der Gerade berechnen.
- Ergibt dies einen Schnittpunkt so defindest du dich im Fall 1)
- Bekommst du etwas "verbotenes" 5=-3 oder so (r=-2 und r=4), so heisst doch dies, dass es keinen solchen Schnittpunkt gibt, also sind müssen die beiden parallel sein
- Bekommst du wie in deinem fall etwas allgemein gültiges 0=0, 7=7 oder ähnlich, so heisst dies, dass jeder Punkt der Gerade die Ebene schneidet, also liegt die Gerade auf der Ebene
Ich hoffe, meine Zusammenfassung stimmt und hilft dir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Iduna |
Hallo Schokonascher!
Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, das nochmal alles aufzuschreiben.
Klingt soweit erstmal alles gut und logisch! :)
Vielen lieben Dank!
Werd versucht, es mir einzuprägen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi Iduna
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> Sorry, wenn ich mich einmische, aber ich dachte vielleicht
> solltest du dir eine Übersicht machen, was welche Resultate
> genau bedeuten.
>
> Eine Ebene und eine Gerade können in 3 Lagen zueinander
> stehen
>
> 1) in einem Punkt schneidend,
> 2) parallel (nicht schneidend) oder
> 3) die Gerade liegt auf der Ebene (in allen Punkten der
> Gerade schneidend)
>
> Wenn du eine Ebene und eine Gerade gleichsetzt, will man im
> Normalfall den Schnittpunkt der Ebene mit der Gerade
> berechnen.
>
> - Ergibt dies einen Schnittpunkt so defindest du dich im
> Fall 1)
> - Bekommst du etwas "verbotenes" 5=-3 oder so (r=-2 und
> r=4), so heisst doch dies, dass es keinen solchen
> Schnittpunkt gibt, also sind müssen die beiden parallel
> sein
> - Bekommst du wie in deinem fall etwas allgemein gültiges
> 0=0, 7=7 oder ähnlich, so heisst dies, dass jeder Punkt der
> Gerade die Ebene schneidet, also liegt die Gerade auf der
> Ebene
>
> Ich hoffe, meine Zusammenfassung stimmt und hilft dir
Stimmt soweit.
Ich möchte nur noch eine Sache dazuschreiben:
1) in einem Punkt schneidend
Man bekommt dann ein ganz bestimmtes r heraus.
Die nächsten beiden Fälle kann man unter die Prüfung auf Parallelität zusammenfassen.
> 2) parallel (nicht schneidend) oder
> 3) die Gerade liegt auf der Ebene (in allen Punkten der
> Gerade schneidend)
Wenn man sagt, dass eine Gerade Prallel zur Ebene ist, so meint dieses sowohl das nicht schneidend, als auch das in allen Punkten schneidend=> Gerade liegt in der Ebene
Das mit dem nicht schneiden fasst man unter ECHT PARALLEL
Das mit dem Gerade liegt in der Ebene unter Parallel zusammen.
Ich denke, diese FOrmulierungen dürften dir, Iduna, irgendwann schon einmal über den Weg gelaufen sein, oder sie werden es noch.
Sláin,
Kroni
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