Längen und Winkel von Einheitsvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 Fr 02.07.2004 | | Autor: | toffel |
Hallo,
Und hier ist noch eine Frage mit der ich nichts anfangen kann:
Sei A = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm][mm]\in Gl_3(\IR)[/mm] gegeben und <.,.>_A das durch <x,y>_A: = [mm] x^t A^t [/mm] Ay definierte Skalarprodukt auf dem [mm] \IR^3.
[/mm]
Man bestimme die Längen der Einheitsvektoren und den Winkel zwichen [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] + [mm] e_2
[/mm]
Ich brauche HIIILFE!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo toffel,
> Sei A = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm][mm]\in Gl_3(\IR)[/mm]
> gegeben und <.,.>_A das durch <x,y>_A: = [mm]x^t A^t[/mm] Ay
> definierte Skalarprodukt auf dem [mm]\IR^3.
[/mm]
> Man bestimme die Längen der Einheitsvektoren und den
> Winkel zwichen [mm]e_1[/mm] und [mm]e_3[/mm] + [mm]e_2
[/mm]
ich stelle mal zwei Gegenfragen, in der Hoffnung, dass es dir weiterhilft; falls nicht, frage bitte nach:
1.) Wie hängt die Länge eine Vektors mit dem Skalarprodukt zusammen? M.a.W.: Wie läßt sich die Länge eines Vektors mit Hilfe des Skalarprodukts ausdrücken?
2.) Wie hängt der Winkel zwischen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt zusammen?
Schreibe uns doch mal diese Formeln, und sag' uns auch, welche Probleme du noch hast, die Aufgabe damit zu lösen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Fr 02.07.2004 | | Autor: | toffel |
Hallo Marc,
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist ja definiert durch:
a*b= [mm]\left| a \right|[/mm]*[mm]\left| b \right|[/mm]*cos(phi)
Dort sind ja die Längen und der Winkel enthalten. Ich komm bloß mit der Aufgabenstellung (Schreibweise) nicht zurecht. Vielleicht ist sie bloß zu kompliziert geschrieben für mich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo toffel
> Hallo Marc,
>
> Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist ja definiert
> durch:
> a*b= [mm]\left| a \right|[/mm]*[mm]\left| b \right|[/mm]*cos(phi)
> Dort
> sind ja die Längen und der Winkel enthalten. Ich komm bloß
> mit der Aufgabenstellung (Schreibweise) nicht zurecht.
> Vielleicht ist sie bloß zu kompliziert geschrieben für
> mich.
>
Ich denke, da verwechselt du etwas: nicht das Skalarprodukt ist so definiert, sondern die anderen Grössen von deiner Gleichung: der Zwischenwinkel und die Beträge der Vektoren werden durch das Skalarprodukt definiert!
(Gut, bis zum Abi wird das vielleicht andersherum gemacht, aber die mathematisch begründete Richtung ist eben the other way round!)
Also: das [mm] $\vec{a}*\vec{b}$ [/mm] auf der linken Seite darf beliebig vorgegeben werden, unter der Voraussetzung, dass es sich um eine Bilinearform handelt, die
1.) symmetrisch und
2.) positiv definit ist
Dann kann man den Betrag des Vektors definieren als
[mm] $\left| \vec{x}\right| [/mm] = [mm] \wurzel{\vec{x}*\vec{x}}$
[/mm]
und den Cosiuns des Zwischenwinkels durch
[mm] $\cos{(\vec{x},\vec{y})} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{x}*\vec{y}}{\left| \vec{x}\right|*\left| \vec{y}\right|}$
[/mm]
Du musst also nur mal interpretieren, wie denn dein Skalarprodukt zu berechnen ist.
Das ist ja so definiert:
Gegeben ist die Matrix
[mm] $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Mit Hilfe dieser Matrix ist dann das Skalarprodukt [mm] $\vec{x}*\vec{y}$ [/mm] so zu berechnen:
[mm] $\vec{x}*\vec{y}=\vec{x}^{t}*A*A^{t}*\vec{y}$
[/mm]
Vielleicht noch als Hinweis: bekanntlich dürfen beliebig Klammern gesetzt werden:
[mm] $\vec{x}^{t}*A*A^{t}*\vec{y}=\vec{x}^{t}*(A*A^{t})*\vec{y}$
[/mm]
Somit darfst du zuerst mal [mm] $A*A^{t}$ [/mm] berechnen (und erhältst so nur noch eine $3x3$-Matrix), womit sich dann die Berechnung für das Skalarprodukt von verschiedenen Vektoren etwas abkürzt.
So, ich hoffe, dass du mit diesen Angaben ein Wenig weiter kommst. Versuchs einfach einmal. Wenn du wider Erwarten nicht klar kommst, dann meldest du dich einfach wieder.
Noch besser, du meldest dich auch dann, wenn du weiter gekommen bist: mit deinen Resultaten. Dann können wir diese noch überprüfen und dir evtl. noch weitere Tipps mitgeben. 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Sa 03.07.2004 | | Autor: | toffel |
Hallo Paulus,
Ok das habe ich denke ich mal verstanden.
Meine erste Frage ist:
Ist das nicht ein Unterschied ob man [mm] A^t*A [/mm] oder [mm] A*A^t [/mm] schreibt?
also für [mm] A^t*A [/mm] habe ich: [mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 \\
-1 & 5 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix} [/mm]
Meine zweite Frage ist:
Was hat das ganze mit den Einheitsvektoren zu tun?
Bin momentan ziemlich im Uni-Stress deswegen ist bei mir auch Konzentration zur Zeit Mangelware. Aber vielleicht kriegen wir das noch hin.
Mfg. Toffel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> >> Ist das nicht ein Unterschied ob man [mm]A^t*A[/mm] oder [mm]A*A^t[/mm]
>
> > schreibt?
>
> Doch, natürlich. Aber Paul hat ja gar nicht behauptet, dass
> es kein Unterschied ist, oder?
ich denke, toffels Frage rührt daher, da in der Aufgabenstellung von [mm] $A^t [/mm] A$ die Rede ist, Paulus in seiner Antwort aber mit $A [mm] A^t$ [/mm] arbeitet.
Also, toffel: Es ist nicht das Gleiche, aber Paulus' Antwort gilt identisch für [mm] $A^t [/mm] A$.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 04.07.2004 | | Autor: | toffel |
Hallo ihr drei,
Ich wusste garnicht dass ich mit meiner Frage gleich eine Diskussion auslösen würde. Naja es hat sich ja nun alles aufgeklärt.
So jetzt habe ich es endlich kapiert:
[mm] \left| \left| e_1 \right| \right| [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \left| \left| e_2 \right| \right| [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \left| \left| e_3 \right| \right| [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \left| \left| e_3+e_2 \right| \right| [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
Also berechnet man den Winkel mit:
[mm] cos(phi)=\bruch{}{\wurzel{2} * \wurzel{10}}
[/mm]
cos(phi)=~0,224
phi=77,08°
Ich hoffe dass es richtig ist. ?
Mfg. Toffel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Kirtan |
Wie berechnest Du denn [mm]\left| \left| e_3+e_2 \right| \right|[/mm]?
Ich hätte im Vorfeld [mm]e_3+e_2[/mm] berechnet: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]+[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Davon würde ich das Skalarprodukt berechnen:
[mm]\left| \left| e_3+e_2 \right| \right|[/mm]=[mm]\wurzel{7}[/mm]
Wie es aussieht ist das ja falsch, aber wie ist es dann richtig?
Wie berechnest Du das sonst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Kirtan |
ok, danke. Ich hatte in meiner Matrix im weiteren Verlauf vergessen die 3 (unten rechts) zu schreiben.
Nun stimmt es bei mir auch! :)
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