Länge und Winkel im Viereck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Viereck mit den Eckpunkten 0(0/0/0), P(2/3/5), Q(5/5/6) und R(1/4/9)ist gegeben. Die Längen der Seiten und die Innenwinkel des Vierecks sollen berechnet werden. |
Hey Leute,
Die Aufgabe habe ich eigentlich vestanden, aber die Lösung ist falsch...
Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass ich richtig gerechnet habe, aber ich komme immer nur auf 270°. Also, für OP habe ich 6,16, PQ ist 3,74, QR ist 5,09 und RO ist 9,9. Bei den Winkeln komme ich mithilfe der Formel a1*b1+a2*b2+a3*b3 geteilt durch Betrag von a und Betrag von b auf folgende Angaben: alpha (der Winkel beim Punkt O) ist 14,1° groß, beta (Winkel bei Eckpunkt P) 136,88°, gamma (bei Eckpunkt Q)55,25° und delta (bei Eckpunkt R)67,66° . Könnte mir irgendjemand meinen Fehler beim Berechnen nennen?
Vielen Dank, eure conny-vicky
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 30.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \left|\overrightarrow{OP}\right|
[/mm]
[mm] =\left|\vektor{2\\3\\5}\right|
[/mm]
[mm] =\wurzel{2^{2}+3^{2}+5^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{38}\approx6,16
[/mm]
[mm] \left|\overrightarrow{PQ}\right|
[/mm]
[mm] =\left|\vektor{3\\2\\1}\right|
[/mm]
[mm] =\wurzel{3^{2}+3^{2}+1^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{14}\approx3,74
[/mm]
[mm] \left|\overrightarrow{QR}\right|
[/mm]
[mm] =\left|\vektor{-4\\-1\\3}\right|
[/mm]
[mm] =\wurzel{(-4)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{26}\approx5,09
[/mm]
[mm] \left|\overrightarrow{RO}\right|
[/mm]
[mm] =\left|\vektor{-1\\-4\\-9}\right|
[/mm]
[mm] =\wurzel{(-1)^{2}+(-4)^{2}+(-9)^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{98}\approx9,89
[/mm]
Die Längen sind also soweit OK
Bleiben die Winkel:
An O.
[mm] \cos(\alpha)=\bruch{\overrightarrrow{OP}*\overrightarrow{OR}}{|\overrightarrrow{OP}|*|\overrightarrow{OR}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{\vektor{2\\3\\5}*\vektor{1\\4\\9}}{\wurzel{38}*\wurzel{98}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2+12+45}{\wurzel{38*98}}
[/mm]
[mm] =\bruch{59}{\wurzel{3724}}
[/mm]
[mm] \approx0,96
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha\approx75,2
[/mm]
Überprüfe jetzt die anderen Winkel bitte auf dem selben Weg.
Marius
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Ähmmmm, wenn ich auf meinem Taschenrechner in cos-1 gehe und dann o,97 eingebe, kommt bei mir 14,08° raus...Ich glaube, dass 75° falsch sind...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Ähmmmm, wenn ich auf meinem Taschenrechner in cos-1 gehe
> und dann o,97 eingebe, kommt bei mir 14,08° raus...Ich
> glaube, dass 75° falsch sind...
Das ist wohl wahr.
Eine häufige Fehlerquelle (hier aber nicht) ist auch oft die falsche Wahl DEG/RAD.
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Das ist ja alles schön und gut, dass ich richtig liege, aber das hilft mir nun überhaupt nicht weiter. Was ist mit den anderen Winkeln? Wo liegt mein Fehler???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Das ist ja alles schön und gut, dass ich richtig liege,
> aber das hilft mir nun überhaupt nicht weiter. Was ist mit
> den anderen Winkeln? Wo liegt mein Fehler???
Hallo,
wenn rechnerisch alles fehlerfrei gewesen sein sollte, gibt es noch eine mögliche Variante:
vielleicht liegen gar nicht alle 4 Punkte in einer Ebene? Dann müsste nämlich die Winkelsumme nicht 360° sein.
Gruß Abakus
Stopp, das habe ich gerade überprüft, in der Richtung passiert nichts
Andere Möglichkeiten:
Das Viereck ist konkav (wie würdest du aus den berechneten Kosinuwerten erkennen, dass ein Innenwinkel gröer al 180° ist?)
oder
O,P , Q und R sind zwar Eckpunkte, aber in einer anderen Reihefolge.
Mach dir eine genaue Zeichnung in einem xyz-Koordinatensystem, um das abzuchecken.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Also, ich kann dir mit ziemlicher Sicherheit sagen, dass die Punkte in einer Ebene liegen, weil die Aufgabe aus einem Grundkurs-Buch kommt...Vielleicht ist da auch einfach ein Fehler in der Aufgabenstellung drin ;)
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Hast du die Aufgabe mal durchgerechnet???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hast du die Aufgabe mal durchgerechnet???
Hallo, siehe Skizze in meinem letzten Beitrag. Ein Winkel ist größer als 180°.
Gruß Abakus
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Das ist aber schon "höhere Mathematik" für mich!! Inwiefern kann man das denn berechnen? Kannst du nochmal deine Skizze erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Das ist aber schon "höhere Mathematik" für mich!!
> Inwiefern kann man das denn berechnen? Kannst du nochmal
> deine Skizze erklären?
Was gibt es da zu erklären? Du SIEHST doch, dass der Winkel bei P größer als 180° ist!
Also ist er nicht 136,8° (das wären 180°-43,2°), sondern 223,2° (das sind 180°+43,2°) groß.
(Es gilt allgemein [mm] cos(180°-\phi)=cos(180+\phi).) [/mm]
Wenn ein Taschenrechner also beispielsweise einen Kosinuswert von -0,5 anzeigt, kann das sowohl 120° als auch 240° bedeuten.
In Dreiecken kann dir dieser Fall nicht passieren, weil da alle Winkel kleiner alle 180° sind.
In Vierecken merkt man es rechnerisch nur daran, dass die Winkelsumme nicht 360° ist.
Es ist also sehr lobenswert, dass du von selbst stutzig geworden bist.
Gruß Abakus
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Woher weiß ich aber dann mit Sicherheit, dass es gerade der Winkel beta ist, der größer als 180° ist? Könnte es nicht auch jeder andere Winkel im Viereck sein???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Sa 30.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Woher weiß ich aber dann mit Sicherheit, dass es gerade
> der Winkel beta ist, der größer als 180° ist? Könnte es
> nicht auch jeder andere Winkel im Viereck sein???
Indem du dir ein x-y-z-Koordinatensystem zeichnest, die 4 Punkte einträgst und verbindest.
Dann siehst du, an welcher Stelle ein Winkel überstumpf sein könnte.
Außerdem: Vermutlich fehlen dir an der kompletten Winkelumme von 360° etwa 86°?
Dieser Fehlbetrag kommt daher, dass du einen Winkel kleiner als 180° angenommen hast, obwohl er größer als 180 sein müsste.
Die Winkelgrößen [mm] 180°-\phi [/mm] und [mm] 180°+\phi [/mm] untercheiden sich nur gerade um [mm] 2*\phi.
[/mm]
Bei einem Fehlbetrag von [mm] 86°=2\phi [/mm] muss also [mm] \phi=43° [/mm] sein. Somit muss der Winkel 180°-
43° der falsche sein und durch 180°+43° ersetzt werden.
Gruß Abakus
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AHHHHH, JETZT habe ich es verstanden!!!!! MAnchmal denke ich echt zu kompliziert!!! DANKESCHÖN :)
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