Länge eines 3D Graphen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Do 21.04.2005 | | Autor: | MrPink |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Do 21.04.2005 | | Autor: | choosy |
der anschaulichste weg ist einfach folgender:
wenn [mm] $\{0=x_0,x_1,...,x_n=1\}$ [/mm] eine Unterteilung (Partition) von [0,1] ist,
so kann man die Länge der Kurve ungefähr berechnen als
[mm] $\sum_{k=1}^n \|p(t_i)-p(t_{i-1}\|$
[/mm]
die tatsächliche länge der kurve ist das das supremum über diee summen über alle partitionen
in der regel kann man aber die Länge einfacher über die Formel
$L = [mm] \int_0^1 \|p'(t)\| [/mm] dt$
berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 21.04.2005 | | Autor: | MrPink |
Wenn ich die Länge wie unten mit dem Integral berechne, würde ich doch einen Vektor L = (x,y,z) heraus bekommen, und keine konkreten wert ???
Was haben denn die bieden Doppelstriche zu bedeuten ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Fr 22.04.2005 | | Autor: | MrPink |
Super, soweit erst mal vielen Dank!!!
Jetzt habe ich aber ein anderes Problem, und zwar wollte ich dass ganze unter Derive mal allgemein lösen, also für drei Polynome x(t),y(t),z(t), welche alle vierten gerades sind.
Ich habe es mit Derive probiert, aber soweit ich dass sehen gibt zu [mm] sqrt(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2) [/mm] keine Stammfunktion. kann mir da jemand irgendwie weiter helfen, wie ich eine Allgeimeine Lösung bekomme wenn x(t),y(t),z(t)
3 Allgemeine Polynome vierten gerades sind ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Super, soweit erst mal vielen Dank!!!
>
> Jetzt habe ich aber ein anderes Problem, und zwar wollte
> ich dass ganze unter Derive mal allgemein lösen, also für
> drei Polynome x(t),y(t),z(t), welche alle vierten gerades
> sind.
>
> Ich habe es mit Derive probiert, aber soweit ich dass sehen
> gibt zu [mm]sqrt(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2)[/mm] keine Stammfunktion.
> kann mir da jemand irgendwie weiter helfen, wie ich eine
> Allgeimeine Lösung bekomme wenn x(t),y(t),z(t)
> 3 Allgemeine Polynome vierten gerades sind ???
Also wenn [mm]x(t)= \alpha_4 t^4 + \alpha_3 t^3 + \alpha_2 t^2 + \alpha_1 t + \alpha_0 [/mm]
und [mm]y(t)= \beta_4 t^4 + \beta_3 t^3 + \beta_2 t^2 + \beta_1 t + \beta_0 [/mm]
und [mm]z(t)= \gamma_4 t^4 + \gamma_3 t^3 + \gamma_2 t^2 + \gamma_1 t + \gamma_0 [/mm]
Dann kannst du dir überlegen, dass [mm] $x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$ [/mm] ein Polynom 8. Grades ergeben muss (durch das Quadrieren wird jeweils die höchste Potenz 2*4 = 8). Im Allgemeinen kannst du daraus keine Quadratwurzel ziehen und du müsstest das integrieren. Ich weiss nicht was dir das bringt, aber vielleicht probierst du mal bei derive zunächst sowas wie [mm]\sqrt{r(t)} = \sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2} = \sqrt{ \eta_8 t^8 + \eta_7 t^7 + ... + \eta_1 t^1 + \eta_0}[/mm] zu integrieren, wenn das geht, dann kannst du dir überlegen, wie diese etas aussehen müssen, andernfalls lohnt die Mühe nicht und derive wird daran scheitern...
Viel Glück!
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Ha... ...äh... Micha und MrPink!
Wollte nur kurz anmerken, dass...
> Dann kannst du dir überlegen, dass [mm]x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2[/mm] ein
> Polynom 8. Grades ergeben muss (durch das Quadrieren wird
> jeweils die höchste Potenz 2*4 = 8). Im Allgemeinen kannst
... sich hier ein Polynom vom Grad 6 ergibt, da ja mit den Ableitungen gerechnet wird.
Aber das vereinfacht das Problem auch nicht...
> du daraus keine Quadratwurzel ziehen und du müsstest das
> integrieren. Ich weiss nicht was dir das bringt, aber
> vielleicht probierst du mal bei derive zunächst sowas wie
> [mm]\sqrt{r(t)} = \sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2} = \sqrt{ \eta_8 t^8 + \eta_7 t^7 + ... + \eta_1 t^1 + \eta_0}[/mm]
> zu integrieren, wenn das geht, dann kannst du dir
> überlegen, wie diese etas aussehen müssen, andernfalls
> lohnt die Mühe nicht und derive wird daran scheitern...
Das würde ich auch mal ausprobieren (mit einem Polynom 6. Grades). Falls es scheitert, könnte man immer noch numerische Integration in Betracht ziehen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Fr 22.04.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, das klappt leider auch nicht, ich hatte mich mit dem Grad des Polynomes eh vertan. Es hat Grad und dann nach dem Ableiten Grad 2 , also habe ich eine Polynom von Grad 4 unter der Wurzel stehen
|
|
|
|
Norm