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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Länge der Exponenten-Kurve y = [mm] e^x [/mm] zwischen den Punkten (0,1) und (1,e). |
Die Länge einer Kurve berechnet man doch mit der Formel:
L(c) := [mm] \integral_{a}^{b}{|c'(t)| dt}
[/mm]
wobei die Betragsstriche die euklidische Länge bezeichnen. d.h. |x| = [mm] \wurzel{{x_{1}}^2 + {x_{2}}^2}, (x_{1}, x_{2}) [/mm] = x [mm] \in \IR^2
[/mm]
So jetzt hab ich nun einfach mal angefangen:
c: [0,1] [mm] \rightarrow \IR^2, [/mm] x -> (x, [mm] e^x)
[/mm]
c'(x) = (1, [mm] e^x)
[/mm]
L(c) = [mm] \integral_{0}^{1}{|c'(x)| dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} {\wurzel{1 + e^{2x}} dx}
[/mm]
Doch jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Partielle Integration kann nicht funktionieren. Integration durch Substitution auch nicht ... Habt ihr ein paar Tipps? Oder bin ich hier auf dem falschen Weg?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 04.09.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
Bist Du Dir sicher, dass das Integral "von Hand" ausgerechnet werden soll?
Ich würde mal darauf tippen, dass es dem Aufgabensteller darum geht, dass man die Kurvenlängenberechnung verstanden hat und nicht darum, dass man Integrale ausrechnen kann.
Deine Überlegungen sind alle richtig, also scheinst Du es verstanden zu haben. Es hängt also nur noch am Integral und das sieht beim Blick auf die Lösung so aus als würde man da nicht so auf die Schnelle drauf kommen.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo john_rambo,
das geht schon zu lösen, indem man mit einer Substitution der e-Funktion beginnt.
Setze mal
[mm] t = e^x [/mm] und leite das Ganze ab. So erhälst Du als Integranden
[mm] \bruch{\wurzel{1+t^2}}{t}\, dt[/mm]
und dann bringt Dich Integral 189 im Bronstein weiter, dort steht nämlich
[mm] \int {\bruch{1+x^2}{x} \, dx = \wurzel{1+x^2} - \ln \bruch{1+\wurzel{1+x^2}}{x} [/mm]
Das müsste es dann sein.
Viele Grüße,
Infinit
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