Länge einer Kurve < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, dass die folgende Kurven regulär ist und berechne ihre Länge:
(a) [mm] \gamma [/mm] : [mm] [-\bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}] [/mm] -> [mm] \IR^2, \gamma(t)= (3t^2 [/mm] -1, [mm] 3t^3-t) [/mm] |
wann ist eine kurve regulär?
eine kurve ist doch regulär, wenn sie parametrisiert ist, sprich [mm] \gamma'(t)=1 [/mm] für alle t und wenn [mm] \gamma(t) [/mm] stetig differenzierbar ist, das heißt, wenn die ableitungsfunktion von [mm] \gamma [/mm] nirgendswo einen knick oder eine sprungstelle oder unterbrechung hat.
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_a^b |\gamma'(t)|dt [/mm] = [mm] \integral_{-\bruch{1}{\wurzel{3}}}^{\bruch{1}{\wurzel{3}}} \wurzel{81t^4 + 18t^2 +1} [/mm] dt
kann mir einer einen tipp geben wie ich das integral daraus ziehe?
wenn ich das integral daraus hab, dann kann ich die umkehrfunktion bilden. die umkehrfunktion setze ich dann in die t ein von [mm] \gamma(t)= (3t^2 [/mm] -1, [mm] 3t^3-t) [/mm] und habe dann die parametrisierte kurve. das heißt wenn ich eine umkehrfunktion bilden kann, wäre damit dann gezeigt , dass die kurve regulär ist?
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[mm] \integral_{-\bruch{1}{\wurzel{3}}}^{\bruch{1}{\wurzel{3}}} \wurzel{81t^4 + 18t^2 +1} [/mm] dt = [mm] \integral_{-\bruch{1}{\wurzel{3}}}^{\bruch{1}{\wurzel{3}}} \wurzel{(9t^2+1)^2} [/mm] dt
Und zu Deiner anderen Frage: ja.
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okay dann komm ich auf:
[mm] \integral_{-\bruch{1}{\wurzel{3}}}^{\bruch{1}{\wurzel{3}}} 9t^2 [/mm] + 1 dt = [mm] \bruch{4}{\wurzel{3}} [/mm] (das ist die länge)
nun will ich die umkehrfunktion bilden:
s = [mm] 3t^3 [/mm] +t
aber ich schafe es nicht die funktion nach t umzustellen, kann mir hier auch einer helfen?
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Das geht ja auch nicht.
Schau Dir die Funktion mal an. Sie hat im Nullpunkt einen Sattelpunkt.
Die Umkehrfunktion müsste im Nullpunkt also eine Steigung von plus oder minus Unendlich haben. Das geht aber nur bei Polen. Ein Pol liegt aber nicht vor. Also: keine Umkehrung möglich.
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ich hab nochmal ne frage zum thema wann ist eine kurve regulär?
ich habe eine eine funktion [mm] \gamma(t).
[/mm]
[mm] \gamma(t) [/mm] ist regulär wenn [mm] \gamma(t)' \not= [/mm] 0 ist für alle t.
also muss ich die erste ableitung von meiner funktion bilden.
hab ich gemacht.
aber wie zeig ich denn jetzt dass sie in jedem einzelnen punkt im definitionsbereich ungleich null ist.
die kurve muss aber nicht parametrisiert sein und der betrag der ersten ableitung muss nicht in jedem punkt gleich 1 sein damit die kurve regulär ist, das hat damit ncihts zu tun oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> [mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\integral_a^b |\gamma'(t)|dt[/mm] =
> [mm]\integral_{-\bruch{1}{\wurzel{3}}}^{\bruch{1}{\wurzel{3}}} \wurzel{81t^4 + 18t^2 +1}[/mm]
> dt
Ist so nicht richtig, sondern:
[mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\integral_a^b |\gamma'(t)|dt[/mm] = [mm]\integral_a^b |(6 t|6 t)|dt[/mm] = [mm]\integral_a^b \wurzel{36 t^2+ 36 t^2}dt[/mm] =[mm]\integral_a^b 6t*\wurzel{2}dt[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 22.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok danke hatte es danach korrigiert
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