Länge einer Kurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | Man berechne die Länge der Kurve:
y=cosh(x), -a [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] a. |
Hallo,
um die Länge der Kurve zu berechnen, kenne ich ja diese Formel:
L = [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{x´^{2}+y´^{2}} dx}
[/mm]
Die Ableitung von cosh x ist sinh x. So jetzt gehts aber los :(.
Das x für die Formel bestimme ich mit der Umkehrfunktion? Also arccoshy = x - dessen Ableitung wäre dann [mm] \bruch{1}{\wurzel{y-1}\wurzel{y+1}}
[/mm]
Ist das richtig? Wie gehe ich dann weiter vor.
Schonmal vielen Dank
UE
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Hallo UE,
ich denke, du solltest deine Kurve erst einmal parametrisieren:
[mm] $f:[-a,a]\to\IR^2 [/mm] , [mm] t\mapsto(t,\cosh(t))$
[/mm]
Dann berechne [mm] $l=\int\limits_{-a}^{a}{||f'(t)|| \ dt}$
[/mm]
Es ist [mm] $f'(t)=(1,\sinh(t))$, [/mm] also [mm] $||f'(t)||=\sqrt{1+\sinh^2(t)}=\sqrt{1+\left[\frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)\right]^2}=\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\left(e^{2t}-2+e^{-2x}\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(e^{2t}+2+e^{-2t}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\cosh^2(t)}=\cosh(t)=\frac{1}{2}\left(e^{t}+e^{-t}\right)$
[/mm]
Und das Integral [mm] $\int\limits_{-a}^{a}{\frac{1}{2}\left(e^{t}+e^{-t}\right) \ dt}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{-a}^{a}{\left(e^{t}+e^{-t}\right) \ dt}$ [/mm] kannst du ja locker berechnen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 26.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
Hey,
vielen Dank für die Antwort! Immerhin schonmal ein Erfolgserlebnis heute :D
Ich habe für das Integral jetzt - [mm] \bruch{e^{-a}-e^{a}}{ln(e)} [/mm] raus. Ist das soweit richtig?
Nochmal vielen Dank
UE
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Moin UE,
> Hey,
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> vielen Dank für die Antwort! Immerhin schonmal ein
> Erfolgserlebnis heute :D
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> Ich habe für das Integral jetzt -
> [mm]\bruch{e^{-a}-e^{a}}{\underbrace{ln(e)}_{=1}}[/mm]  raus. Ist das soweit richtig?
Wie kommst du an diesen [mm] $\ln(e)$ [/mm] im Nenner?
Ich hab's andersherum heraus, also [mm] $l=e^{a}-e^{-a}$
[/mm]
Mal sehen: [mm] $\frac{1}{2}\int\limits_{-a}^{a}{\left(e^{t}+e^{-t}\right) \ dt}=\frac{1}{2}\left[e^t-e^{-t}\right]_{-a}^{a}=\frac{1}{2}\left[e^{a}-e^{-a}-\left(e^{-a}-e^{-(-a)}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[2e^{a}-2e^{-a}\right]=e^{a}-e^{-a}$
[/mm]
>
> Nochmal vielen Dank
Jo
>
> UE
Gruß
schachuzipus
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