Länge des Graphen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge des Graphen der Funktion
f: [mm] [\bruch{1}{4}, \bruch{4}{3}]->\IR, f(x)=x\wurzel{x} [/mm] |
Hallo,
ich habe folgenden Lösungsanfang:
[mm] f(x)=x\wurzel{x} [/mm] = [mm] x*x^{1/2} [/mm] = [mm] x^{3/2}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{3}{2}x^{1/2} [/mm]
[mm] f'(x)^2= \bruch{9}{4}x
[/mm]
[mm] L(G_f) [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{\wurzel{1+f'(x)^2}dx} [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{\wurzel{1+\bruch{9}{4}x }dx} [/mm] =
[mm] \integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{(1+\bruch{9}{4}x)^{1/2}dx} [/mm] =
[mm] [(1+\bruch{9}{4}x)^{3/2}/(\bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \bruch{9}{4})]=
[/mm]
[mm] [(1+\bruch{9}{4}x)^{3/2}/\bruch{27}{8}] [/mm] =
[mm] (1+\bruch{9}{4}*\bruch{4}{3}^{3/2}/\bruch{27}{8})-(1+\bruch{9}{4}*\bruch{1}{4}^{3/2}/\bruch{27}{8})=
[/mm]
.... (das Ausrechnen würde ich noch hinbekommen, aber ich finde die ganze Rechnung sieht schon sehr eigenartig aus...)
Liebe Grüße
sommersonne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 05.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Es ist doch schon mal ganz toll, dass du die generelle Formel für das Berechnen der Länge eines Graphen hast (das mit dem Integral aus Wurzel 1 plus f Strich....)
Bei solchen umfangreichen Formeln ist es kein Wunder, wenn die Rechnung dann eigenartig aussieht. Das heißt ja nicht, dass sie falsch ist. Ganz im Gegenteil: da du im Endeffekt nur noch Zahlen da stehen hast, die dein Taschenrechner so lösen kann, müsstet du rauskriegen können, wie lang der Graph ist.
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> Berechnen Sie die Länge des Graphen der Funktion
> f: [mm][\bruch{1}{4}, \bruch{4}{3}]->\IR, f(x)=x\wurzel{x}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe folgenden Lösungsanfang:
> [mm]f(x)=x\wurzel{x}[/mm] = [mm]x*x^{1/2}[/mm] = [mm]x^{3/2}[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{3}{2}x^{1/2}[/mm]
> [mm]f'(x)^2= \bruch{9}{4}x[/mm]
>
> [mm]L(G_f)[/mm] =
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{\wurzel{1+f'(x)^2}dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{\wurzel{1+\bruch{9}{4}x }dx}[/mm]
> =
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}{(1+\bruch{9}{4}x)^{1/2}dx}[/mm]
> =
> [mm][(1+\bruch{9}{4}x)^{3/2}/(\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\bruch{9}{4})]=[/mm]
Hallo,
die Stammfunktion ist jedenfalls richtig, und wenn Du Deine Kenntnisse der Bruchrechnung einsetzen und außerdem untenKlammern setzen würdest, sähe es doch ganz gut aus.
[mm] ...=\bruch{8}{27}* [(1+\bruch{9}{4}x)^{3/2}]_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}
[/mm]
= [mm]\bruch{8}{27}*[(1+\bruch{9}{4}x)*(1+\bruch{9}{4}x)^{1/2}]_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{4}{3}}[/mm] = ...,
Gruß v. Angela
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Danke euch beiden, ich dachte ich hätte die Formel falsch verstanden.
Liebe Grüße
sommersonne
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