Länge der Kurve berechnen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm] x:[0,3]->\IR^3, [/mm] definiert durch x(t)=(cos(2t),sin(2t),2cosh(t)) |
So, habe sehr große Probleme, diese Aufgabe zu lösen.
Also zuerst bilde ich die erste Ableitung, dann die Norm davon und dann das Integral von der Norm mit den angegebenen Grenzen.
[mm] x'(t)=(-sin(2t)2,cos(2t)2,e^t-e^{-t})
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x'(t) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{(sin(2t)*2)^2+(cos(2t)*2)^2+(e^t-e^{-t})^2}= \wurzel{4(cos(2t)^2+sin(2t)^2)+e^{2t}-2e^{t}e^{-t}+e^{-2t}}=\wurzel{2+e^{2t}+e^{-2t}}=(2+e^{2t}+e^{-2t})^{1/2} [/mm] Kann man irgendwie die Klammer auflösen?
Hab mal in den Term cosh eingebaut
[mm] =\wurzel{(2+2cosh(2t))}
[/mm]
Aber wie soll ich jetzt eine Stammfunktion finden?
Wo ist mein Fehler bzw. wie geht es weiter?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
Hallo TheBozz-mismo,
> Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm]x:[0,3]->\IR^3,[/mm]
> definiert durch x(t)=(cos(2t),sin(2t),2cosh(t))
> So, habe sehr große Probleme, diese Aufgabe zu lösen.
> Also zuerst bilde ich die erste Ableitung, dann die Norm
> davon und dann das Integral von der Norm mit den
> angegebenen Grenzen.
> [mm]x'(t)=(-sin(2t)2,cos(2t)2,e^t-e^{-t})[/mm]
Lass doch in der letzten Komponente direkt [mm]2\sinh(t)[/mm] stehen.
Es ist doch [mm]\sinh(x)'=\cosh(x)[/mm] und [mm]\cosh(x)'=\sinh(x)[/mm]
> [mm]\parallel[/mm] x'(t) [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\wurzel{(sin(2t)*2)^2+(cos(2t)*2)^2+(e^t-e^{-t})^2}= \wurzel{4(cos(2t)^2+sin(2t)^2)+e^{2t}-2e^{t}e^{-t}+e^{-2t}}=\wurzel{2+e^{2t}+e^{-2t}}=(2+e^{2t}+e^{-2t})^{1/2}[/mm]
> Kann man irgendwie die Klammer auflösen?
> Hab mal in den Term cosh eingebaut
> [mm]=\wurzel{(2+2cosh(2t))}[/mm]
> Aber wie soll ich jetzt eine Stammfunktion finden?
>
> Wo ist mein Fehler bzw. wie geht es weiter?
Du hast [mm]||x'(t)||=\sqrt{4\cdot{}\left(\underbrace{sin^2(2t)+\cos^2(2t)}_{=1}\right)+4\sinh^2(t)}[/mm]
[mm]=\sqrt{4\cdot{}\left(1+\sinh^2(t)\right)}=2\cdot{}\sqrt{1+\sinh^2(t)}[/mm]
Nun bedenke, dass gilt [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm], also [mm]1+\sinh^2(z)=\cosh^2(z)[/mm]
Und die Wurzel davon ist mit dem obigen Zusammenhang zwischen den Ableitungen von [mm]\sinh[/mm] und [mm]\cosh[/mm] doch nicht schwer zu integrieren.
Alternativ setze nun die Definition mit [mm]e^{(...)}[/mm] ein ...
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe
>
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Vielen Dank.
Die Beziehung [mm] cosh^2(z)-sinh^2(z)=1 [/mm] hat mit zum Lösen gefehlt
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
|
