LaGrange Optimierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Zielfunktion [mm] W(x,y)=ln(\bruch{3}{2}x)+ln(y) [/mm] soll unter der Nebenbedingung 2x+3y=36 mithilfe der Multiplikatorregel nach La Grange optimiert werden. |
[mm] W(x,y,\lambda)=ln(\bruch{3}{2}x)+ln(y)-\lambda*0
[/mm]
bzw. mit 0=2x+3y-36
[mm] W(x,y,\lambda)=ln(\bruch{3}{2}x)+ln(y)-\lambda*(2x+3y-36)
[/mm]
Hier gleich meine erste Frage:
Muss man bei LaGrange immer - [mm] \lambda*0 [/mm] rechnen, oder geht auch + [mm] \lambda*0?
[/mm]
Als Lösung für die partiellen Abeitungen 1. Ordnung =0 bekomme ich heraus: [mm] \lambda=\bruch{1}{18}; [/mm] x=9; y=6;
Um nun noch nachzuweisen, dass es sich dabei um ein Maximum handelt untersuche ich diese Ableitungsnullstellen auf Vorzeichenwechsel der jeweiligen partiellen Ableitungen erster Ordnung. [mm] W_{x}(x_{0},y_{0},\lambda_{0}) [/mm] und [mm] W_{y}(x_{0},y_{0},\lambda_{0}) [/mm] ergeben jeweils, dass es sich um ein Maximum handelt (VZW jeweils von + nach -). Aber bei [mm] W_{\lambda}(x_{0},y_{0},\lambda_{0}) [/mm] ergibt sich jeweils 0. Was ist da nun die Aussage daraus oder habe ich einen Rechenfehler? Oder berücksichtigt man hier diese Ableitung nicht, weil ja die eigentliche zu optimierende Zielfunktion nur von x & y abhängt?
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Hiho,
> Hier gleich meine erste Frage:
> Muss man bei LaGrange immer - [mm]\lambda*0[/mm] rechnen, oder geht
> auch + [mm]\lambda*0?[/mm]
Es geht auch Plus.
Für die Bestimmung des Maximums ist das [mm] $\lambda$ [/mm] ja nur eine "Nebenrechnung", d.h. es ändert sich zwar das Vorzeichen von [mm] $\lambda$, [/mm] da uns aber nur $x,y$ interessieren, ist das egal.
> Aber bei [mm]W_{\lambda}(x_{0},y_{0},\lambda_{0})[/mm] ergibt sich jeweils 0.
> Oder berücksichtigt man hier diese
> Ableitung nicht, weil ja die eigentliche zu optimierende
> Zielfunktion nur von x & y abhängt?
Korrekt. Man muss die Ableitung nach [mm] $\lambda$ [/mm] Null setzen, da sich nur dann die Nebenbedingung ergibt, d.h. mach dir klar, dass die notwendige Bedingung
[mm]W_{\lambda}(x,y,\lambda) = 0[/mm] nichts anderes ist, als die Nebenbedingung.
Wie sich das "drumrum" verhält, ist dabei egal.
Wichtig ist nur, dass x und y die Nebenbedingung erfüllen.
Gruß,
Gono
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