LR-Zerlegung mit Permutation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Mo 10.12.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | Geben Sie für folgende Matrix die LR-Zerlegung mit Permutationsmatrix im Format A= L * P * R an
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] |
Die Zerlegung kriege ich hin, nur leider schleicht sich wohl irgendwo ein Fehler ein- den ich nicht finde, sodass ich auf die falsche Lösung komme
A= L * P * R
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
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> Geben Sie für folgende Matrix die LR-Zerlegung mit
> Permutationsmatrix im Format A= L * P * R an
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
> Die
> Zerlegung kriege ich hin, nur leider schleicht sich wohl
> irgendwo ein Fehler ein- den ich nicht finde, sodass ich
> auf die falsche Lösung komme
>
> A= L * P * R
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2 }[/mm]
Wie kommt man denn darauf? Du änderst einfach Matrizen ab und schreibst trotzdem ein "=" dazwischen?
Es sollte
[mm]L_2\cdot{} P_2\cdot{} L_1\cdot{} P_1\cdot{} A^{(0)}=U[/mm]
und
[mm]U=\left( \begin {array}{ccc}1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2\end {array} \right) [/mm]
mit
[mm]L_{1}=\left( \begin {array}{ccc}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1\end {array} \right) , [/mm][mm]L_{2}=\left( \begin {array}{ccc}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1\end {array} \right) , [/mm]
herauskommen. Also am Ende soetwas, wie
[mm]PA=LU[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{ccc}0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1\end {array} \right) [/mm][mm]\left( \begin {array}{ccc}0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0\end {array} \right) =[/mm] [mm]\left( \begin {array}{ccc}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1\end {array} \right) [/mm][mm]\left( \begin {array}{ccc}1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2\end {array} \right) [/mm]
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