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LR-Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 23.11.2008
Autor: Joan2

Aufgabe
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } [/mm]

a) Bestimme die LR-Zerlegung mit Hilfe der Spaltenpivotisierung
b) Bestimme die LR-Zerlung ohne Pivotisierung  

Ich habe die Aufgaben so gelöst:

a)

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 1 & 2 & -1\\1&3&1 } [/mm]

2.Zeile und 3.Zeile jeweils  [mm] -\bruch{1}{2}* [/mm] 1.Zeile

[mm] \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1 \\ 0 &0 & -\bruch{1}{2}\\0&1&\bruch{3}{2}} [/mm]

Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z

[mm] \Rightarrow \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 0 & 1 & \bruch{3}{2}\\0&0&-\bruch{1}{2}} [/mm]    = R

[mm] \Rightarrow [/mm] L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2}& 1 &0\\ -\bruch{1}{2} & 0 &1 } [/mm]


b)

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } [/mm]

2.Z -  2*1.Z und 3.Z - 1*1.Z

[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 &1\\0&1&2 } [/mm]

Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z

[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 &2\\0&0&1 } [/mm]  = R

[mm] \Rightarrow [/mm] L = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &0\\ 1& 0 &1 } [/mm]


Eigentlich müssten die LR-Zerlegung gleich sein, oder?? Ich weiß nicht wo ich falsch gedacht habe.


Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar


Liebe Grüße
Joan


        
Bezug
LR-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 23.11.2008
Autor: zetamy


> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 }[/mm]
>  
> a) Bestimme die LR-Zerlegung mit Hilfe der
> Spaltenpivotisierung
>  b) Bestimme die LR-Zerlung ohne Pivotisierung
> Ich habe die Aufgaben so gelöst:
>  
> a)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 } \gdw \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 1 & 2 & -1\\1&3&1 }[/mm]
>
> 2.Zeile und 3.Zeile jeweils  [mm]-\bruch{1}{2}*[/mm] 1.Zeile
>  
> [mm]\gdw \pmat{ 2 & 4 &-1 \\ 0 &0 & -\bruch{1}{2}\\0&1&\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z
>  
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 2 & 4 &-1\\ 0 & 1 & \bruch{3}{2}\\0&0&-\bruch{1}{2}}[/mm]
>    = R
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] L= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2}& 1 &0\\ -\bruch{1}{2} & 0 &1 }[/mm]

Wenn du pivotisierst, musst du auch die Pivotmatrix mitführen! Am Anfang hast du die Zeilen in der Reihenfolge [mm] $\vektor{1 \\ 2 \\ 3}$. [/mm] Durch deine zweimalige Zeilenvertauschung erhälst du die Reihenfolge [mm] $\vektor{2 \\ 3 \\ 1}$. [/mm] Folglich sieht deine Pivotmatrix so aus:

[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}$. [/mm] Wenn du jetzt die von dir ausgerechneten Matrixen L und R multiplizierst erhälst du die pivotisierte Matrix [mm] $P\cdot [/mm] A$, also $ [mm] L\cdot [/mm] R = [mm] P\cdot [/mm] A$.

ABER: In der Aufgabe stand Spaltenpivotisierung, du hast Zeilen pivotisiert!



> b)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 &-1\\1&3&1 }[/mm]
>
> 2.Z -  2*1.Z und 3.Z - 1*1.Z
>  
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 &1\\0&1&2 }[/mm]
>
> Zeilenvertauschung: 2.Z mit 3.Z

Du sollst hier eine Lösung ohne Pivotisierung angeben! Also keine Zeilen/Spaltenvertauschung.

>  
> [mm]\Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 &2\\0&0&1 }[/mm]  = R
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] L = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &0\\ 1& 0 &1 }[/mm]
>  
>
> Eigentlich müssten die LR-Zerlegung gleich sein, oder?? Ich
> weiß nicht wo ich falsch gedacht habe.
>  
>
> Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar
>  
>
> Liebe Grüße
>  Joan
>  


Bezug
                
Bezug
LR-Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 So 23.11.2008
Autor: Joan2

Danke erstmalfür die Hilfe.
Aber es müssen bei a) und b) letztendlich dieselben LR- Matrizen herauskommen, oder?

Bezug
                        
Bezug
LR-Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 So 23.11.2008
Autor: zetamy

Bei Teil b) ist deine L Matrix falsch. Korrekt lautet sie [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1}$. [/mm]


> Danke erstmalfür die Hilfe.
> Aber es müssen bei a) und b) letztendlich dieselben LR-
> Matrizen herauskommen, oder?

Nein, da du in Teil bei eine andere Pivotisierung gewählt hast, ist die Pivotmatrix von der in a) verschieden, also sind auch L und R von denen in a) verschieden.

Die Pivotmatrix in b) ist: [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}$. [/mm]


Bezug
                                
Bezug
LR-Zerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:44 So 23.11.2008
Autor: Joan2

Ich dachte die L-Matrix erhält man durch:

[mm] l_{i,j} [/mm] = [mm] \bruch{a^{{j}}_{i,j}}{a^{{j}}_{j,j}} [/mm]

Das habe ich nämlich bei b) angewendet und erhalten

[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 2 & 1&0\\1&0&1 } [/mm]

Ist die Formel falsch?

Bezug
                                        
Bezug
LR-Zerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Di 25.11.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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