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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich habe hier eine Matrix A, von der ich die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung bestimmt habe.
A = [mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 6 & 4 & -3 \\ -4 & -2 & 0 }
[/mm]
Nun suche ich in der ersten Spalte das betragsmäßig größte Element, das ist die (-)6, die steht bereits in der ersten Zeile, also muss nichts getauscht werden. Ich kann also einen Gauß-Eliminationsschritt machen und erhalte
[mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 }
[/mm]
Hierbei sind [mm] l_{21} [/mm] = [mm] \bruch{6}{-6} [/mm] = -1 und [mm] l_{31} [/mm] = [mm] \bruch{-4}{-6} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Nun suche ich in der zweiten (Rest-)Spalte das betragsmäßig größte Element, das sind die [mm] \bruch{2}{3}, [/mm] also müssen Zeile 3 und Zeile 2 getauscht werden.
[mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 }
[/mm]
Nun kann ich wieder den Gauß-Eliminationsschritt machen und erhalte [mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 }, [/mm] es ändert sich im letzten Schritt nichts.
Hierbei sind [mm] l_{32} [/mm] = 0
Somit ist [mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] die R-Matrix der LR-Zerlegung.
Die L-Matrix ergibt sich aus den [mm] l_{ij}: [/mm] L = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 1 }.
[/mm]
Ich denke, dass die R-Matrix soweit richtig, weil wenn ich damit ein vorgegebenes Gleichungssystem löse, dann erhalte ich richtige Ergebnisse.
Aber bei der Probe bekomme ich jetzt Probleme. Wenn ich L und R miteinander multipliziere, dann müsste ich ja eigentlich wieder die A-Matrix rausbekommen. Aber wenn ich L und R multipliziere, dann erhalte ich
[mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 6 & \bruch{14}{3} & 0 \\ -4 & -\bruch{8}{3} & -3 }
[/mm]
und das ist wirklich alles andere als A.
Kann mir einer sagen, wo der Fehler ist? Liegt das vielleicht am Vertauschen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mo 17.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
Spaltenpivotisierung habe ich jetzt erst gelernt, will aber versuchen, mein Wissen einzubringen.
Ich habe gelernt, dass - sofern man Zeilen tauscht - auch Permutationsmatrizen eingeführt werden müssen.
Fangen wir einmal an.
[mm] \pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 6 & 4 & -3 \\ -4 & -2 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 6 & 4 & -3 \\ -4 & -2 & 0 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 1 }*\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 } [/mm] erste Matrix ist Permutationsmatrix. Da wir keine Zeilen tauschen, entspricht sie der Einheitsmatrix.
[mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }*\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] Hier ist die dritte Matrix die Permutationsmatrix. Da du - richtig - Zeile 2 und 3 tauschst, musst du die beiden Zeilen auch in der Einheitsmatrix vertauschen. Somit ergibt sich diese Permutationsmatrix.
Dein L ergibt sich nun aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] das entspricht den ersten drei Matrizen
[mm] L=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{3} & 1 & 0 }
[/mm]
Und dein R entspricht der 4 Matrix:
[mm] R=\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 }
[/mm]
Insgesamt: [mm] L*R=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \bruch{2}{3} & 1 & 0 }*\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 }=\pmat{ -6 & -4 & 0 \\ 6 & 4 & -3 \\ -4 & -2 & 0 }=A.
[/mm]
Wo lag letztendlich dein Fehler?! Deine Vorgehensweise ist richtig. Du hast jedoch die Permutationsmatrizen vergessen.
Bei der LR-Zerlegung hast du immer die Form:
[mm] A=P_1*L_1*P_2*L_2*\ldots*P_n*L_n*R
[/mm]
mit Permutatiosmatrizen [mm] P_m [/mm] für [mm] m=1,\ldots,n [/mm] und [mm] L=P_1*L_1*P_2*L_2*\ldots*P_n*L_n [/mm] und R.
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Do 27.12.2007 | | Autor: | Pacapear |
Hi!
Vielen Dank für deine Antwort.
Hab überhauptnicht gesehen, dass es ohne Permutationsmatrizen nicht klappt.
Allerdings haben wir diese Permutationsmatrizen am Ende nicht mit in das L reingepackt, sondern haben die Form PA = LR, aber das müsste ja egal sein.
LG, Nadine
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