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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 So 25.12.2005 | | Autor: | Lauch |
Inwiefern lässt sich der Algorithmus implementieren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 So 25.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Zeige die Auflösbarkeit der Galoisgruppe zur
> Galoiserweiterung [mm]\IQ(\wurzel[5]{7}[/mm] , [mm]\gamma),[/mm] wobei
> [mm]\gamma[/mm] eine fünfte primitive Einheitswurzel ist.
> Muss ich jetzt alle Untergruppen der Gruppe bestimmen und
> dann weiterschauen oder wie ist das Verfahren zur
> Bestimmtung der Auflösbarkeit einer Gruppe?
Ich nehme mal an, du betrachtest die Erweiterung [mm] $L/\IQ$ [/mm] mit $L = [mm] \IQ(\sqrt[5]{7}, \gamma)$?
[/mm]
Nun, das haengt ganz davon ab was ihr bisher in der Vorlesung hattet. Wenn man die passenden Saetze hatte (die die Aufloesbarkeit der Galoisgruppe mit der Aufloesbarkeit der entsprechenden Polynomgleichungen in Korrespondenz setzen) ist es sehr einfach, man muss nur das passende Polynom ueber [mm] \IQ [/mm] hinschreiben fuer welches $L$ ein Zerfaellungskoerper ueber [mm] $\Q$ [/mm] ist.
Falls du zwar entsprechende Saetze hattest, diese aber nicht verwenden willst/darfst, kannst du ja mal im Beweis nachschauen wie man damit die Aufloesbarkeit gezeigt hat.
Falls du die Saetze aber noch nicht hattest, so hattest du doch wenigstens folgendes Resultat aus der Gruppentheorie: Ist $G$ eine Gruppe und $N$ ein Normalteiler in $G$, so ist $G$ genau dann aufloesbar, wenn sowohl $N$ als auch $G/N$ aufloesbar sind. Und hoffentlich weisst du auch etwas ueber die Beziehungen der Galoisgruppen eines Koerperturms $K [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] E$, wenn $E/K$, $E/L$ und $L/K$ Galois-Erweiterungen sind (in diesem Fall ist $Gal(E/K)/Gal(E/L) [mm] \cong [/mm] Gal(L/K)$ wenn ich mich richtig erinnere).
So. Und nun musst du einen passenden Zwischenkoerper zwischen [mm] $\IQ$ [/mm] und $L = [mm] \IQ(\sqrt[5]{7}, \gamma)$ [/mm] finden so, dass es jeweils Galoiserweiterungen sind. Und dann jeweils die Galoisgruppen ausrechnen bzw. es reicht ja nachzurechnen, dass sie aufloesbar sind. Und aufloesbar sind sie insbesondere, wenn sie abelsch oder sogar zyklisch sind.
So, das waren jetzt hoffentlich nicht zu viele Hinweise  Ist halt schwer zu sagen wenn man nicht weiss was ihr schon hattet und was nicht. Falls es zu wenig war oder du noch Fragen hast, meld dich ruhig!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Lauch |
Hi,
also die erste Methode fällt schonmal flach, weil wir die Sätze noch nicht hatten. Allerdings habe ich von der zweiten Methode leider auch nicht viel verstanden, weil wir über Auflösbarkeit sogut wie noch nix gesagt haben.
Lediglich eine Definition von Auflösbarkeit wurde an die Tafel gebracht:
Sei G eine endliche Gruppe auflösbar <=> Es. ex. eine Kette von Untergruppen G = [mm] G_{0} \supset G_{1} \supset G_{2} \supset [/mm] ... [mm] \supset G_{r} [/mm] = {1} mit [mm] G_{i+1} [/mm] normal in [mm] G_{i} [/mm] und [mm] |G_{j}| [/mm] / [mm] |G_{j+1}| [/mm] prim alle j.
Ich weiß nicht inwiefern diese Definition mit deiner übereinstimmt.
Reicht es also wenn ich eine Untergruppe von G finde, die {1} enthält, so daß die Kette aus den drei Gruppen diese beiden Bedingungen erfüllen?
Du meintest irgendwas von einer Erweiterung, dessen Galoisgruppe zyklich ist, da könnte man doch [mm] Q(\gamma) [/mm] nehmen?
Tut mir leid, aber ich komm noch nicht ganz mit.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 26.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also die erste Methode fällt schonmal flach, weil wir die
> Sätze noch nicht hatten. Allerdings habe ich von der
> zweiten Methode leider auch nicht viel verstanden, weil wir
> über Auflösbarkeit sogut wie noch nix gesagt haben.
Ok, ich hatte gehofft das ihr zur Aufloesbarkeit schon etwas mehr hattet als nur die Definition.
> Lediglich eine Definition von Auflösbarkeit wurde an die
> Tafel gebracht:
>
> Sei G eine endliche Gruppe auflösbar <=> Es. ex. eine Kette
> von Untergruppen G = [mm]G_{0} \supset G_{1} \supset G_{2} \supset[/mm]
> ... [mm]\supset G_{r}[/mm] = {1} mit [mm]G_{i+1}[/mm] normal in [mm]G_{i}[/mm] und
> [mm]|G_{j}|[/mm] / [mm]|G_{j+1}|[/mm] prim alle j.
> Ich weiß nicht inwiefern diese Definition mit deiner
> übereinstimmt.
Es ist genau die gleiche. Das was ich angegeben habe war ein Kriterium, mit dem man die Aufloesbarkeit nachrechnen kann. (Die eine Richtung davon, die du fuer das was ich mir gedacht hab brauchst, ist allerdings sehr einfach zu beweisen. Aber das nur nebenbei.)
> Reicht es also wenn ich eine Untergruppe von G finde, die
> {1} enthält, so daß die Kette aus den drei Gruppen diese
> beiden Bedingungen erfüllen?
Genau. Du brauchst eine Kette aus genau drei Untergruppen, wobei eine {1} und eine G ist. (Also dir fehlt noch eine dazwischen.) Und als die passende Z
Zwischenuntergruppe nimmst du eine, welche als Galoisgruppe auftritt, etwa die hier:
> Du meintest irgendwas von einer Erweiterung, dessen
> Galoisgruppe zyklich ist, da könnte man doch [mm]Q(\gamma)[/mm]
> nehmen?
Genau. So wenn du das jetzt selber probieren moechtest, dann tu das bevor du weiterliest Ansonsten lies erstmal die naechsten beiden Absaetze, und wenn dir das auch nicht hilft den Rest. Und wenn das immer noch nicht reicht frag nochmal :)
[mm] $\IQ(\gamma)/\IQ$ [/mm] ist eine Erweiterung von Grad 5 (da [mm] $\gamma$ [/mm] fuenfte Einheitswurzel ist), und [mm] $\IQ(\gamma)$ [/mm] ist gleichzeitig Zerfaellungskoerper von [mm] $x^5 [/mm] - 1$ ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Damit ist [mm] $\IQ(\gamma)/\IQ$ [/mm] Galoisch und die Galois-Gruppe hat 5 Elemente, womit die Galoisgruppe insbesondere zyklisch ist.
Weiterhin ist [mm] $\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})$ [/mm] eine Galois-Erweiterung von [mm] $\IQ(\gamma)$ [/mm] des Polynoms [mm] $x^7 [/mm] - 2$. (Das musst du natuerlich noch zeigen ) Die Galois-Gruppe hat also Ordnung 7, ist also ebenfalls zyklisch.
Jetzt musst du das ganze zusammenwerfen. Du betrachtest also die Galois-Gruppe $G$ von [mm] $\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})/\IQ$. [/mm] Diese Gruppe hat eine Untergruppe $U$, welche die Gruppe ist, die dem Zwischenkoerper [mm] $\IQ(\gamma)$ [/mm] entspricht (Galois-Korrespondenz; also die Teilmenge von $G$, deren Elemte [mm] $\IQ(\gamma)$ [/mm] nicht veraendern). Diese Untergruppe ist nun isomorph zur Galoisgruppe von [mm] $\IQ(\gamma)/\IQ$, [/mm] hat also $5$ Elemente (warum?). Und insbesondere ist $U$ ein Normalteiler (warum?).
(Das mit dem Normalteiler kann man entweder mit der Galois-Theorie direkt machen, oder man benutzt die Sylowschen $p$-Saetze.)
Jetzt musst du noch argumentieren, warum der Index von U in G gerade 7 ist. Das kann man am besten ueber die Zwischenkoerper machen (mittels der Galois-Korrespondenz).
So. Und nun bist du fertig. Siehst du warum?
LG & HTH, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Lauch |
> [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm] ist eine Erweiterung von Grad 5 (da [mm]\gamma[/mm]
> fuenfte Einheitswurzel ist), und [mm]\IQ(\gamma)[/mm] ist
> gleichzeitig Zerfaellungskoerper von [mm]x^5 - 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm].
> Damit ist [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm] Galoisch und die Galois-Gruppe
> hat 5 Elemente, womit die Galoisgruppe insbesondere
> zyklisch ist.
hat [mm] \IQ(\gamma)/ \IQ [/mm] nicht grad 4, da das Minimalpol. von [mm] \gamma [/mm] nicht Grad 5 sondern 4 hat( [mm] \gamma [/mm] ist primitive 5. Einheitswurzel). Wäre damit die Erweiterung immer noch zyklisch? Ich weiss nur, dass Erweiterungen mit Primzahlgrad zyklisch sind.
> Weiterhin ist [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})[/mm] eine
> Galois-Erweiterung von [mm]\IQ(\gamma)[/mm] des Polynoms [mm]x^7 - 2[/mm].
> (Das musst du natuerlich noch zeigen )
Ich muss zeigen, dass [mm] \IQ(\gamma, \sqrt[7]{2}) [/mm] Zerfällungskörper von [mm] x^7 [/mm] - 2 über [mm] \IQ(\gamma) [/mm] ist, also dass [mm] x^7-2 [/mm] vollständig in [mm] \IQ(\gamma, \sqrt[7]{2}) [/mm] zerfällt und dass ich mit [mm] \gamma [/mm] und [mm] \sqrt[7]{2} [/mm] alle Nullstellen von [mm] x^7-2 [/mm] darstellen kann? [mm] x^7-2 [/mm] hat ja 7 Nullstellen, eine davon ist [mm] \sqrt[7]{2}, [/mm] aber mit der 5. prim. Einheitswurzel kann ich doch höchstens 4 Nullstellen darstellen, da [mm] \gamma^5 [/mm] doch schon 1 ist.
> Jetzt musst du das ganze zusammenwerfen. Du betrachtest
> also die Galois-Gruppe [mm]G[/mm] von [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})/\IQ[/mm].
> Diese Gruppe hat eine Untergruppe [mm]U[/mm], welche die Gruppe ist,
> die dem Zwischenkoerper [mm]\IQ(\gamma)[/mm] entspricht
> (Galois-Korrespondenz; also die Teilmenge von [mm]G[/mm], deren
> Elemte [mm]\IQ(\gamma)[/mm] nicht veraendern). Diese Untergruppe ist
> nun isomorph zur Galoisgruppe von [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm], hat also
> [mm]5[/mm] Elemente (warum?).
Der Grad von [mm] \IQ(\gamma) [/mm] / [mm] \IQ [/mm] wäre nach dir ja 5, also hat die Galoisgruppe der Erweiterung 5 Elemente.
> Und insbesondere ist [mm]U[/mm] ein
> Normalteiler (warum?).
Es handelt sich um Zerfällungskörper, die sind auch normal. Es gilt, dass die entsprechenden Untergruppen zueinander normal sind wenn die entsprechenden Körpererweiterungen normal sind, stimmts?
Ich müsste dann auch noch zeigen, dass {1} normal in U ist, aber das stimmt ja, da u*1*u^-1 = 1 ist? (Tu mich noch sehr schwer mit den abstrakten Definitionen)
> Jetzt musst du noch argumentieren, warum der Index von U in
> G gerade 7 ist. Das kann man am besten ueber die
> Zwischenkoerper machen (mittels der Galois-Korrespondenz).
Eigentlich dachte ich, dass ich die Anzahl der Elemente von G durch die Anzahl der Elemente in U teilen muss, und das Ergebnis soll prim sein? Das gleiche für U und {1}, was ja 5 wäre.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 26.12.2005 | | Autor: | felixf |
> > [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm] ist eine Erweiterung von Grad 5 (da [mm]\gamma[/mm]
> > fuenfte Einheitswurzel ist), und [mm]\IQ(\gamma)[/mm] ist
> > gleichzeitig Zerfaellungskoerper von [mm]x^5 - 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm].
> > Damit ist [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm] Galoisch und die Galois-Gruppe
> > hat 5 Elemente, womit die Galoisgruppe insbesondere
> > zyklisch ist.
>
> hat [mm]\IQ(\gamma)/ \IQ[/mm] nicht grad 4, da das Minimalpol. von
> [mm]\gamma[/mm] nicht Grad 5 sondern 4 hat( [mm]\gamma[/mm] ist primitive 5.
> Einheitswurzel). Wäre damit die Erweiterung immer noch
> zyklisch? Ich weiss nur, dass Erweiterungen mit
> Primzahlgrad zyklisch sind.
Aeh. Ja. Da hast du recht, bin auch ein wenig durcheinander im Moment... Ja die Erweiterung ist von Grad 4, allerdings macht das nichts: Gruppen der Ordnung 4 sind immer abelsch, und es gibt immer einen Normalteiler der Ordnung 2. Damit hast du einen Normalteiler U in G mit |U| = |U/{1}| = |G/U| = 2.
> > Weiterhin ist [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})[/mm] eine
Das sollte [mm] $\sqrt[5]{7}$ [/mm] sein, hab die Zahlen etwas durcheinandergewuerfelt :/
> > Galois-Erweiterung von [mm]\IQ(\gamma)[/mm] des Polynoms [mm]x^7 - 2[/mm].
Und das hier dann [mm] $x^5 [/mm] - 7$.
> > (Das musst du natuerlich noch zeigen )
>
> Ich muss zeigen, dass [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})[/mm]
> Zerfällungskörper von [mm]x^7[/mm] - 2 über [mm]\IQ(\gamma)[/mm] ist, also
> dass [mm]x^7-2[/mm] vollständig in [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})[/mm] zerfällt
> und dass ich mit [mm]\gamma[/mm] und [mm]\sqrt[7]{2}[/mm] alle Nullstellen
> von [mm]x^7-2[/mm] darstellen kann? [mm]x^7-2[/mm] hat ja 7 Nullstellen, eine
> davon ist [mm]\sqrt[7]{2},[/mm] aber mit der 5. prim. Einheitswurzel
> kann ich doch höchstens 4 Nullstellen darstellen, da
> [mm]\gamma^5[/mm] doch schon 1 ist.
Ja, mit den 'richtigen' Zahlen sollte es aber passen :)
> > Jetzt musst du das ganze zusammenwerfen. Du betrachtest
> > also die Galois-Gruppe [mm]G[/mm] von [mm]\IQ(\gamma, \sqrt[7]{2})/\IQ[/mm].
> > Diese Gruppe hat eine Untergruppe [mm]U[/mm], welche die Gruppe ist,
> > die dem Zwischenkoerper [mm]\IQ(\gamma)[/mm] entspricht
> > (Galois-Korrespondenz; also die Teilmenge von [mm]G[/mm], deren
> > Elemte [mm]\IQ(\gamma)[/mm] nicht veraendern). Diese Untergruppe ist
> > nun isomorph zur Galoisgruppe von [mm]\IQ(\gamma)/\IQ[/mm], hat also
> > [mm]5[/mm] Elemente (warum?).
>
> Der Grad von [mm]\IQ(\gamma)[/mm] / [mm]\IQ[/mm] wäre nach dir ja 5, also hat
> die Galoisgruppe der Erweiterung 5 Elemente.
Nun sie hat 4, da der Grad 4 ist... Sorry :)
> > Und insbesondere ist [mm]U[/mm] ein
> > Normalteiler (warum?).
>
> Es handelt sich um Zerfällungskörper, die sind auch normal.
> Es gilt, dass die entsprechenden Untergruppen zueinander
> normal sind wenn die entsprechenden Körpererweiterungen
> normal sind, stimmts?
Jep.
> Ich müsste dann auch noch zeigen, dass {1} normal in U
> ist, aber das stimmt ja, da u*1*u^-1 = 1 ist? (Tu mich noch
> sehr schwer mit den abstrakten Definitionen)
Ja das stimmt. Die trivialen Untergruppen ({1} und G selber) sind immer normal.
> > Jetzt musst du noch argumentieren, warum der Index von U in
> > G gerade 7 ist. Das kann man am besten ueber die
5 und nicht 7
> > Zwischenkoerper machen (mittels der Galois-Korrespondenz).
>
> Eigentlich dachte ich, dass ich die Anzahl der Elemente von
> G durch die Anzahl der Elemente in U teilen muss, und das
> Ergebnis soll prim sein?
Ja, aber warum ist es prim? (Es ist uebrigens 5.)
> Das gleiche für U und {1}, was ja 5 wäre.
Da kommt 4 raus.
Sorry nochmal fuer die ganzen Zahlendreher...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Lauch |
Hi,
macht nix, ich bin dir viel mehr dankbar dafür, dass du mir so ausführlich weiterhilfst :)
Also der Anfang ist nun klar! Beim letzten Schritt hakts aber noch bei mir.
Also |U| / |{1}| = 4 [mm] \not= [/mm] primzahl, auch versteh ich nicht, warum bei |G| / |U| 5 rauskommen soll, es ist doch |G|=5 und |U| = 4 ?
In der Definition müssen am Ende als Index(ich weiss nicht, ob du mit Index vielleicht was anderes meinst) jeweils Primzahlen sein.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 27.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also der Anfang ist nun klar! Beim letzten Schritt hakts
> aber noch bei mir.
> Also |U| / |{1}| = 4 [mm]\not=[/mm] primzahl, auch versteh ich
> nicht, warum bei |G| / |U| 5 rauskommen soll, es ist doch
> |G|=5 und |U| = 4 ?
Es ist $|G| = 4 [mm] \cdot [/mm] 5 = 20$
Warum das so ist? $G$ ist ja die Galoisgruppe der Erweiterung [mm] $\IQ(\gamma, \sqrt[5]{2})/\IQ$, [/mm] womit $|G| = [mm] [\IQ(\gamma, \sqrt[5]{2}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ(\gamma, \sqrt[5]{2}) [/mm] : [mm] \IQ(\gamma)] [\IQ(\gamma) [/mm] : [mm] \IQ]$ [/mm] ist. (Das erste folgt aus der Galoistheorie, das zweite ist der Multiplikationssatz fuer Koerpererweiterungen.) Nun ist [mm] $[\IQ(\gamma) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 4$, da das MiPo von [mm] $\gamma$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] Grad 4 hat. Dann musst du nur noch begruenden, warum [mm] $[\IQ(\gamma, \sqrt[5]{2}) [/mm] : [mm] \IQ(\gamma)] [/mm] = 5$ ist, oder warum [mm] $x^5 [/mm] - 2$ ueber [mm] $\IQ(\gamma)$ [/mm] unzerlegbar ist.
Wobei du das eigentlich gar nicht brauchst. Es reicht, dass [mm] $[\IQ(\gamma, \sqrt[5]{2}) [/mm] : [mm] \IQ(\gamma)]$ [/mm] entweder $5$, $3$, $2$ ist (Primzahlen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] sofort fertig), oder halt $4$, und in dem Fall gibt es wieder eine Untergruppe $U'$ mit $U [mm] \subseteq [/mm] U' [mm] \subseteq [/mm] G$ so, dass $|G|/|U'| = |U'|/|U| = 2$ ist.
> In der Definition müssen am Ende als Index(ich weiss
> nicht, ob du mit Index vielleicht was anderes meinst)
Ja das meine ich mit Index :) Der Index einer Untergruppe U in einer Gruppe G ist $|G/U|$, und fuer endliche Gruppen ist dies nach Lagrange gleich $|G|/|U|$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 27.12.2005 | | Autor: | Lauch |
Hi,
beeindruckend, wie du das erklärst!
Ich hätte dann nur noch zwei Fragen:
1. In der Definition ist ja die Rede von Kette von Untergruppen, reicht es nicht schon aus eine einzige Untergruppe zwischen den trivialen Gruppen G und {1} zu betrachten, wie wir es in dieser Aufgabe getan haben, und dann eben zeigen, dass es eine auflösbare Normalreihe ist?
2. Also der Index von {1} in U ist ja 4, streng nach Definition muss sie aber doch prim sein. Okay, wir wissen dass {1} schon normal ist in U, aber wieso reicht das schon aus? In der Definition steht ja Index muss prim sein für alle Indizes j der Untergruppen.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 27.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1. In der Definition ist ja die Rede von Kette von
> Untergruppen, reicht es nicht schon aus eine einzige
> Untergruppe zwischen den trivialen Gruppen G und {1} zu
> betrachten, wie wir es in dieser Aufgabe getan haben, und
> dann eben zeigen, dass es eine auflösbare Normalreihe ist?
Was ist fuer dich eine 'aufloesbare Normalreihe'?
> 2. Also der Index von {1} in U ist ja 4, streng nach
> Definition muss sie aber doch prim sein. Okay, wir wissen
> dass {1} schon normal ist in U, aber wieso reicht das schon
> aus? In der Definition steht ja Index muss prim sein für
> alle Indizes j der Untergruppen.
Ich kenn die Definition von Aufloesbarkeit so:
Eine Gruppe $G$ ist aufloesbar, wenn es eine Kette von Untergruppen [mm] $\{ 1 \} [/mm] = [mm] U_0 \subsetneqq U_1 \subsetneqq \dots \subsetneqq U_n [/mm] = G$ gibt so, dass [mm] $G_{i-1}$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $G_i$ [/mm] ist und dass [mm] $G_i/G_{i-1}$ [/mm] abelsch ist.
Wenn $G$ eine endliche aufloesbare Gruppe (nach dieser Definition) ist, dann kann man diese Kette von Untergruppen immer zu einer Kette erweitern so, dass [mm] $|G_i/G_{i-1}|$ [/mm] eine Primzahl ist.
Fuer endliche Gruppen stimmen unsere Definitionen also ueberein Und zusammen mit diesem Resultat (wie man von meiner Def zu deiner kommst) und den Fakt, dass jede Gruppe mit 4 Elementen abelsch ist, bekommst du das was du brauchst. Bleibt also die Frage: Wie genau kommt man da hin?
Ist $G$ eine beliebige endliche abelsche Gruppe und $p$ eine Primzahl so, dass $p$ ein Teiler von $|G|$ ist, dann gibt es ein $g [mm] \in [/mm] G$, welches die Ordnung $p$ hat, also insb. eine Untergruppe $U [mm] \subseteq [/mm] G$ mit $|U| = p$. Per Induktion bekommst du also eine Kette [mm] $\{ 1 \} [/mm] = [mm] U_0 \subsetneqq U_1 \subsetneqq \dots \subsetneqq U_k [/mm] = G$ mit [mm] $|U_i/U_{i-1}|$ [/mm] prim.
Im Fall von $|G| = 4$ geht das natuerlich viel einfacher :) Es gibt immer ein Element der Ordnung $2$, und die davon erzeugte Untergruppe ist (da abelsch) automatisch ein Normalteiler $U$ so, dass $|G/U|$ und [mm] $|U/\{1\}|$ [/mm] beide $2$ sind: genau das was du brauchst.
HTH & LG, Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 27.12.2005 | | Autor: | Lauch |
Herzlichen Dank für die ausführliche Nachhilfestunde.
LG
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