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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Mi 15.09.2010 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\ b^2 & 2b-1 & 1-b & c \\ b & 1 & 1 & -1 } [/mm] |
Hallo,
mal wieder ein LGS. Bin nach Schema vorgegangen, komme damit zunächst auf:
[mm] \pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\ 0 & b-1 & -b & -bc \\ 0 & (b+1)(b-1) & -2b^2 & b^2 }
[/mm]
Dann mit b ungleich -1 auf:
[mm] \pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\ 0 & b-1 & -b & -bc \\ 0 & 0 & b^2-b & b(-c(b+1)-b) }
[/mm]
Aber das kann es ja irgendwie nicht sein. Da sieht die Musterlösung (leider ohne Weg) deutlich einfacher aus.
Was kann ich da an meiner Lösung optimieren?
Danke!
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> [mm]\pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\
b^2 & 2b-1 & 1-b & c \\
b & 1 & 1 & -1 }[/mm]
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> Hallo,
>
> mal wieder ein LGS. Bin nach Schema vorgegangen, komme
> damit zunächst auf:
>
> [mm]\pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\
0 & b-1 & -b & -bc \\
0 & (b+1)(b-1) & -2b^2 & b^2 }[/mm]
>
> Dann mit b ungleich -1 auf:
>
> [mm]\pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\
0 & b-1 & -b & -bc \\
0 & 0 & b^2-b & -c(b+1)-b }[/mm]
>
> Aber das kann es ja irgendwie nicht sein.
Hallo,
wieso denn nicht? Was gefällt Dir nicht? Das solltest Du schon sagen...
Ich habe das jetzt nicht genau nachgerechnet, aber das Prinzip ist doch richtig.
Für [mm] b\not [/mm] 1 und [mm] b\not [/mm] 0 kannst Du die Zeilen so dividieren, daß Du führende Einsen hast,
und anschließend untersuchst Du das GS noch für [mm] b=\pm1, [/mm] 0.
Was ich anders gemacht hätte? Ich hätte vielleicht lieber die letzte Zeile der Startmatrix als erste Zeile festgehalten, aber das dürfte den Kohl nicht fett machen.
Schau nochmal, ob der untere rechte Eintrag der Endmatrix stimmt, mir sieht er nicht richtig aus - aber mangels Stift und Papier überlasse ich das Nachrechnen lieber Dir.
Gruß v. Angela
> Da sieht die
> Musterlösung (leider ohne Weg) deutlich einfacher aus.
>
> Was kann ich da an meiner Lösung optimieren?
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 15.09.2010 | | Autor: | oli_k |
Huch, ja, der Eintrag unten rechts muss noch mal b genommen werden (in 5 Minuten korrigiert).
Nun gilt es ja zu untersuchen, für welche b und c die letzte Zeile zur Nullzeile wird... Nehme ich dann einfach die 1 und die 0 als Möglichkeiten, setze diese unten rechts ein und gucke, wie entsprechend das c aussehen muss? Hm, erscheint mir heute irgendwie als viel einfacher als es mir gestern erschien... Ich glaube, ich habe mit dem Eintrag unten rechts angefangen und versucht, das nach b und c aufzulösen, was ja wohl nicht so praktikabel ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Do 16.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Huch, ja, der Eintrag unten rechts muss noch mal b genommen
> werden (in 5 Minuten korrigiert).
>
> Nun gilt es ja zu untersuchen, für welche b und c die
> letzte Zeile zur Nullzeile wird...
Das geht einfacher:
Schau dir mal die letzte Zeile an, also:
$ [mm] \pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\ 0 & b-1 & -b & -bc \\ 0 & 0 & \red{b^2-b} & \green{b(-c(b+1)-b)} } [/mm] $
An der rot markierten Stelle darf keine Null stehen (warum nicht?), also betrachte mal die Werte für b, für die gilt [mm] b^{2}-b=0 [/mm] geondert.
An der grünen Stelle hingegen darf eine Null auftauchen, diese Stelle ist erstmal uninteressant.
> Nehme ich dann einfach
> die 1 und die 0 als Möglichkeiten, setze diese unten
> rechts ein und gucke, wie entsprechend das c aussehen muss?
Nein, du betrachtest die Sonderfälle, die oben genannt wurden.
> Hm, erscheint mir heute irgendwie als viel einfacher als es
> mir gestern erschien... Ich glaube, ich habe mit dem
> Eintrag unten rechts angefangen und versucht, das nach b
> und c aufzulösen, was ja wohl nicht so praktikabel ist...
Hier verstehe ich nicht, was du gemacht hast.
Marius
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> [mm]\pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 & 0 \\
b^2 & 2b-1 & 1-b & c \\
b & 1 & 1 & -1 }[/mm]
>
> [...]
>
> Dann mit b ungleich -1 auf:
>
[mm]> \pmat{ b^3 & 2b^2-1 & -b^2 &| &0 \\
0 & b-1 & -b &| & -bc \\
0 & 0 & b^2-b &| & b(-c(b+1)-b) }[/mm]
Hallo,
ich reime mir mal zusammen, daß es auch hier die erweiterte Koeffizientenmatrix eines inhomogenen LGS sein soll.
So kannst Du systematisch vorgehen:
für [mm] b\not=\pm [/mm] 1, 0 hat die 3x3-Koeffizientenmatrix den Rang 3, das System ist also eindeutig lösbar, und zwar völlig unabhängig davon, welches c man wählt.
Danach untersuche die 3 Fälle b=0, b=1, b=-1.
1. Fall: b=0
$ [mm] \pmat{ 0& -1 &0 & |&0 \\0 & -1 & 1 & |&c \\ & 1 & 1 & |&-1 } [/mm] $
in ZSF bringen, überlegen, unter
welchen Umständen das System lösbar ist und wie die Lsg. ggf. lautet.
Die anderen beiden Fälle entsprechend.
Einen anderen Tip hatte Dir wieschoo im anderen Thread gegeben:
Du kannst schauen, für welche b die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm] \not=0 [/mm] ist. In diesen Fällen ist das System eindeutig lösbar, und sofern Du nicht die Lösungen explizit angeben sollst, bist Du damit schon fertig.
Dann untersuchst Du die Matrix für die b, bei denen die Det. =0 ist, auf Lösbarkeit.
Gruß v. Angela
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