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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS mit Unbekannten hinterm =
LGS mit Unbekannten hinterm = < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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LGS mit Unbekannten hinterm =: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 23.11.2010
Autor: cmf

Aufgabe
Untersuchen Sie für welche [mm] \alpha,\beta,\gamma\in\IR [/mm] das folgende lineare Gleichungssystem über [mm] \IR [/mm] lösbar ist:

[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha [/mm]
[mm] 3x_1 +x_3=\beta [/mm]
[mm] 3x_2+x_3 =\gamma [/mm]

Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge an.

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also ich habe das LGS in eine Matrix übertragen und durch elementare Zeilenumformung folgende Stufenform gebildet:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\ 0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\ 0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma } [/mm]

Daraus habe ich folgende neue Matrix gebastelt:

[mm] \pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} | x_1 \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 | x_2 \\ 3 & -1 & -1 | x_3 } [/mm]

Angenommen [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] dann ergibt sich die untere Koeffizientenmatrix:

[mm] \pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 \\ 3 & -1 & -1 } [/mm]

Auch hier habe ich wieder die Stufenform gebildet:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm] \alpha=x_1, \beta=x_2 [/mm] und [mm] \gamma=x_3 [/mm] gelten muss, damit das LGS lösbar ist.
Indem man in dem LGS aus der Aufgabenstellung  [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] durch [mm] \alpha, \beta,\gamma [/mm] ersetzt, zeigt sich, dass [mm] \alpha=\beta=\gamma=0 [/mm] gilt und daraus folgt [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] was ich als Lösungsmenge des LGS ansehen würde...

Ergibt das Sinn oder hab ich totalen Quatsch gemacht?

Gruß
Adrian



        
Bezug
LGS mit Unbekannten hinterm =: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 24.11.2010
Autor: MathePower

Hallo cmf,


[willkommenmr]


> Untersuchen Sie für welche [mm]\alpha,\beta,\gamma\in\IR[/mm] das
> folgende lineare Gleichungssystem über [mm]\IR[/mm] lösbar ist:
>  
> [mm]x_1+x_2+x_3=\alpha[/mm]
>  [mm]3x_1 +x_3=\beta[/mm]
>  [mm]3x_2+x_3 =\gamma[/mm]
>  
> Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge an.
>  Hallo,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Also ich habe das LGS in eine Matrix übertragen und durch
> elementare Zeilenumformung folgende Stufenform gebildet:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\ 0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\ 0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma }[/mm]


Hier kannst Du schon aufhören,
da das LGS eindeutig lösbar ist.


>  
> Daraus habe ich folgende neue Matrix gebastelt:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} | x_1 \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 | x_2 \\ 3 & -1 & -1 | x_3 }[/mm]
>  
> Angenommen [mm]x_1=x_2=x_3=0,[/mm] dann ergibt sich die untere
> Koeffizientenmatrix:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 \\ 3 & -1 & -1 }[/mm]
>  
> Auch hier habe ich wieder die Stufenform gebildet:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm]\alpha=x_1, \beta=x_2[/mm]
> und [mm]\gamma=x_3[/mm] gelten muss, damit das LGS lösbar ist.
>  Indem man in dem LGS aus der Aufgabenstellung  [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]
> durch [mm]\alpha, \beta,\gamma[/mm] ersetzt, zeigt sich, dass
> [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] gilt und daraus folgt [mm]x_1=x_2=x_3=0,[/mm]
> was ich als Lösungsmenge des LGS ansehen würde...
>  
> Ergibt das Sinn oder hab ich totalen Quatsch gemacht?
>  
> Gruß
>  Adrian
>



Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
LGS mit Unbekannten hinterm =: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Do 25.11.2010
Autor: cmf

Danke,
jetzt weiß ich also, dass das LGS eindeutig lösbar ist, aber die Lösungsmenge soll in diesem Fall auch noch angegeben werden...
Wie komme ich jetzt auf eine Lösungsmenge?

Bezug
                        
Bezug
LGS mit Unbekannten hinterm =: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Do 25.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo cmf,

> Danke,
> jetzt weiß ich also, dass das LGS eindeutig lösbar ist,
> aber die Lösungsmenge soll in diesem Fall auch noch
> angegeben werden...
> Wie komme ich jetzt auf eine Lösungsmenge?

Das steht doch da! Kannst du so ablesen!


Ich zitiere (oder tippe ab ;-)):

[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\ 0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\ 0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma }[/mm]

(na gut, war rauskopiert ;-))


Was steht denn in der letzten Zeile?

Was in der zweiten und was in der ersten?


Übertrage es zurück in Gleichungsschreibweise, wenn du es nicht siehst ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
LGS mit Unbekannten hinterm =: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Do 25.11.2010
Autor: Steffi21

Hallo, rechne unbedingt alles noch einmal durch

[mm] x_1=-\alpha+\bruch{2}{3}\beta+\bruch{1}{3}\gamma [/mm]

[mm] x_2=-\alpha+\bruch{1}{3}\beta+\bruch{2}{3}\gamma [/mm]

[mm] x_3=3\alpha-\beta-\gamma [/mm]

Steffi

Bezug
                
Bezug
LGS mit Unbekannten hinterm =: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:05 Do 25.11.2010
Autor: cmf

Natürlich.. ich dachte mit Lösungsmenge wäre etwas wie [mm] \alpha=...; \beta=...;\gamma=... [/mm] gemeint

Danke Euch

Bezug
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