LGS mit 2 Parameter lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | marc99 |
| Aufgabe | | $ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 3 & -9 \\ 2 & -2 & p \\ 4 & 2p &2p \end{pmatrix} [/mm] $ x $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ q \\ 2q \end{pmatrix} [/mm] $ |
Ich soll jetzt die parameter p,q bestimmen , so dass diese
a, eindeutig lösbar
b, keine lösung besitzt
c, unendlich viele lösungen besitzt
EInfach nur HILFE :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
stelle doch das LGS auf und versuche, dieses zu lösen.
Tip: Um zu gucken, ob eine Matrix Invertierbar ist, also auch, ob sie eine "eindeutige" Lösung hat, hilft dir auch oft die Determinante der Matrix. Was ist, wenn diese gleich Null ist, und was, wenn diese ungleich Null ist?
Nun, ansonsten kannst du auch einfach den Gauß'schen Elminationsalgorithmus auf dein LGS anwenden, dann noch ein paar Fallunterscheidungen, und dann wird da wohl hinterher in der letzten Zeile sowas allgemeines stehen wie (Achtung: Das ist nur ein Beispiel) [mm] p=q^2 [/mm] . Und dann musst du wissen, was es heißt, wenn in der letzten Zeile sowas steht wie 0=0, 0=1, oder [mm] 5x_3=4 [/mm] oder sowas.
Ich hoffe, ich konnte dir mit diesen Ansätzen helfen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 26.01.2008 | | Autor: | marc99 |
Erstmal Danke für deine Tipps.
Mich machen nur diese Parameter fertig. Ich weis nicht wie ich mit ihnen umgehen soll . wenn ich die Derterminante berechne kommt auch wieder was mit 1/6-pq ... raus. Und mit gauß komm ich auch nicht weiter da ich es nicht schaffe die Parameter zu eliminieren. Wenn ich das überhaupt muss.
Ich wäre wirklich danlbar für eine Lösung oder wenigstens einen 1. Schritt.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
im ersten Schritt von Gauß kannst du doch "normal" arbeiten. D.h. du elminierst alle Einträge, die in deiner Matrix an erster Stelle stehen von der zweiten und dritten Zeile. Dann musst du versuchen, die Einträge der zweiten Spalte in der dritten Zeile zu eliminieren. Stell dir einfach vor, das p und q wären explizite Zahlen, dann kommst du weiter. Steht z.B. in einer Zeile sowas wie p und in der Zeile unten drunter sowas wie 5, und du willst die 5 wegbekommen, dann mult. die Zeile drunter einfach mit p, wobei du dann ausschließen musst, dass p=0, und dann subtrahierst du einfach das fünfacher der oberen Zeile von der unteren. Stell dir einfach vor, das seien Zahlen und arbeite dann genauso weiter.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 26.01.2008 | | Autor: | marc99 |
Hmm,
also ich komme dann auf sowas wie
2 3 -9 = 0
2 2p-4 0 =q
0 2p-6 2p-18 = 2q
Aber dann komm ich auch schon nicht mehr weiter.
Ich glaub ich steh aufm schlauch :)
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Hallo marc99,
du musst das Biest ja in ZSF bringen.
Ich würde es so angehen:
[mm] $\pmat{2&3&-9&|&0\\2&-2&p&|&q\\4&2p&2p&|&2q}$
[/mm]
Teile die letzte Zeile durch 2, dann addiere das $(-1)-$fache der 1.Zeile zur 2.Zeile und zur 3.Zeile
Das ergibt: [mm] $\pmat{2&3&-9&|&0\\0&-5&p+9&|&q\\0&p-3&p+9&|&q}$
[/mm]
Hier kann man schon stutzig werden. Was ist, wenn $p-3=-5$ ist?
Dann gibt's ne Nullzeile ...
Zum weiteren Umformen addiere nun das $(p-3)-$fache der 2.Zeile zum $5-$fachen der 3.Zeile
Das gibt
[mm] $\pmat{2&3&-9&|&0\\0&-5&p+9&|&q\\0&0&p^2+11p+18&|&2q+pq}$
[/mm]
oder anders geschrieben:
[mm] $\pmat{2&3&-9&|&0\\0&-5&p+9&|&q\\0&0&(p+2)(p+9)&|&q(p+2)}$
[/mm]
Und hier kannst du doch dann wunderbar deine FU bzgl. $p$ und $q$ machen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 31.01.2008 | | Autor: | marc99 |
Danke für deine ausführlich Antwort.
Ich hätte aber noch eine Frage. Wäre es auch möglich das mit der Cramerschen Regel zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 31.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi
theoretisch kannst du das. Die Regel setzt ja vorraus, dass die Determinante deiner Matrix ungleich 0 ist. D.h. du kannst dann schonmal sagen: Für die und die Werte p und q ist das LGS eindeutig lösbar.
Für alle Werte p und q, wo det(A)=0 musst du dann einzelnd prüfen, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt, denn darüber gibt dir die Determinante keine Auskunft.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 31.01.2008 | | Autor: | marc99 |
Aber rechnet man mit der Regel eigentlich nicht x1 , x2 und x3 aus?
Oder kann man die Regel einfach auf die Parameter anwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Do 31.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, mit der Cramer'schen Regel berechnet man die Lösungen deines LGS. Das ist hier also zu viel, wenn du die Cramer'sche Regel anwendest. Allerdings kannst du, wie gesagt, mit Hilfe der Determinante einfacher brechnen, ob dein LGS eindeutig lösbar ist oder eben nicht. D.h. du musst gucken, für welche p,q det(A)=0 gilt. Gilt det(A)=0 ist es nicht eindeutig lösbar, ist es ungleich 0, dann ist es eindeutig lösbar.
Wenn det(A)=0 kannst du dann aber leider nicht genau sagen, ob es nun keine Lösung gibt oder unendlich viele. Da musst du dir dann speziell das LGS ansehen um zu gucken, ob irgendwo so etwas steht wie 0=0 oder 0=1.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 04.02.2008 | | Autor: | marc99 |
Jetzt muss ich aber nochmal fragen.
Jetzt ist hier ja ne Dreiecksmatrix , also muss ich p so wählen das die Determinante 0 wird. Dann hab ich entweder keine Lösung oder unendlich viele. Das heißt also für p = -2 oder p= -9 ist Det(A) = 0
Wie kann ich jetz am besten entscheiden ob es unendlich viele oder keine Lösung gibt . Hat das nicht etwas mit dem Rang zu tun?
Heißt das dann für alle p [mm] \not=-9;-2 [/mm] gibt es genau eine Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
falls du dich bei der Det nicht verrechnet hast, stimmen deine Zahlen, denn die Überlegung ist richtig.
Um jetzt zu prüfen, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt bring den ganzen Spaß doch auf Zeilenstufenform, um dann zu gucken, ob dort in der letzten Zeile sowas steht wie p=5 und dann kannst du ja sagen: p ungleich 0, dann gibt es eine lösung, p=0 dann keine etc.
Das kannst du letzendlich nur entscheiden, wenn du dir die Zeilenstufenform anguckst.
LG
Kroni
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