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| Aufgabe | Das LGS
[mm] \pmat{ 1 & 0&0&3&4 \\ 0 & 1&0&-2&2 \\ 0&0&1&3&6 }\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5}=\vektor{3 \\ 7\\11}
[/mm]
will gelöst werden. |
Lösungsvorschlag:
Rangbestimmung von A: [mm] r_A \le [/mm] 3
ich wähle eine mögliche 3reihige Unterdeterminante:
[mm] U_1= \vmat{ 1 & 0&0 \\ 0&1 & 0\\0&0&1 }=1\not=0 \Rightarrow Rg(a)=r_A=3
[/mm]
Dann stelle ich die erweiterte Koeff.matrix auf, um deren Rang zu bestimmen:
[mm] (A|c)=\pmat{ 1 & 0&0&3&4 &3\\ 0 & 1&0&-2&2 &7\\ 0&0&1&3&6 &11 }
[/mm]
ich wähle wieder eine mögliche Unterdeterminante aus:
[mm] U_2= \vmat{ 1 & 0&3 \\ 0&1 & 7\\0&0&11 }=11\not=0 \Rightarrow Rg(A|c)=r_{(A|c)}=3 \Rightarrow [/mm] Rg(A)=Rg(A|c)=3
Es gibt n=5 Spalten, r=3 < n=5 [mm] \Rightarrow [/mm] unendl. viele Lsg. mit n-r=5-3=2 Parametern
also sei [mm] x_4=s [/mm] und [mm] x_5=t
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_3+3s+6t=11 \gdw x_3=11-3s-6t
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_2-2s+2t=7 \gdw x_2=7+2s-2t
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1+3s+4t=3 \gdw x_1=3-3s-4t
[/mm]
Und damit habe ich:
L= { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5} [/mm] | [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5}= \vektor{3\\ 7\\11\\0\\0}+s \vektor{-3 \\ 2\\-3\\1\\0}+t \vektor{-4 \\ -2\\-6\\0\\1} [/mm] }
1. Richtig?
2. Bei den Determinanten kann ich doch wirklich frei entsccheiden, welche ich untersuche, oder? Hauptsache sie ist [mm] \not=0, [/mm] oder?
3. Habe ich die Lösungsmenge richitg notiert oder schreibt man das anders hin?
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Hallo,
> Das LGS
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> [mm]\pmat{ 1 & 0&0&3&4 \\
0 & 1&0&-2&2 \\
0&0&1&3&6 }\vektor{x_1 \\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}=\vektor{3 \\
7\\
11}[/mm]
>
> will gelöst werden.
> Lösungsvorschlag:
>
> Rangbestimmung von A: [mm]r_A \le[/mm] 3
>
> ich wähle eine mögliche 3reihige Unterdeterminante:
>
> [mm]U_1= \vmat{ 1 & 0&0 \\
0&1 & 0\\
0&0&1 }=1\not=0 \Rightarrow Rg(a)=r_A=3[/mm]
>
>
> Dann stelle ich die erweiterte Koeff.matrix auf, um deren
> Rang zu bestimmen:
>
> [mm](A|c)=\pmat{ 1 & 0&0&3&4 &3\\
0 & 1&0&-2&2 &7\\
0&0&1&3&6 &11 }[/mm]
>
> ich wähle wieder eine mögliche Unterdeterminante aus:
>
> [mm]U_2= \vmat{ 1 & 0&3 \\
0&1 & 7\\
0&0&11 }=11\not=0 \Rightarrow Rg(A|c)=r_{(A|c)}=3 \Rightarrow[/mm]
> Rg(A)=Rg(A|c)=3
>
> Es gibt n=5 Spalten, r=3 < n=5 [mm]\Rightarrow[/mm] unendl. viele
> Lsg. mit n-r=5-3=2 Parametern
>
> also sei [mm]x_4=s[/mm] und [mm]x_5=t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_3+3s+6t=11 \gdw x_3=11-3s-6t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_2-2s+2t=7 \gdw x_2=7+2s-2t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1+3s+4t=3 \gdw x_1=3-3s-4t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Und damit habe ich:
>
> L= { [mm]\vektor{x_1 \\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}[/mm] | [mm]\vektor{x_1 \\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5}= \vektor{3\\
7\\
11\\
0\\
0}+s \vektor{-3 \\
2\\
-3\\
1\\
0}+t \vektor{-4 \\
-2\\
-6\\
0\\
1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> 1. Richtig?
Richtig ist das schonalles. Hoffentlich ist dir jedoch klar, dass diese Vorgehensweise hier in diesem speziellen Fall ziemlich numständlich ist, da die Lösungsmenge in Abhängigkeit von x_4 u. x:5 ja im Prinzip schon dasteht.
> 2. Bei den Determinanten kann ich doch wirklich frei
> entsccheiden, welche ich untersuche, oder? Hauptsache sie
> ist [mm]\not=0,[/mm] oder?
Nein: denn die beiden letzten Zeilen (No 4 u. 5 des LGS) könnten linear abhängiog sein. Das hättest du dann nicht erfasst.
> 3. Habe ich die Lösungsmenge richitg notiert oder
> schreibt man das anders hin?
Falsch ist sie nicht. Ich würde sie aber durch Aufzählen der Tupel aufschreiben, so wäre es üblich.
Gruß, Diophant
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> >
> > 1. Richtig?
>
> Richtig ist das schonalles. Hoffentlich ist dir jedoch
> klar, dass diese Vorgehensweise hier in diesem speziellen
> Fall ziemlich numständlich ist, da die Lösungsmenge in
> Abhängigkeit von [mm] x_4 [/mm] u. x:5 ja im Prinzip schon dasteht.
>
Ja ich weiss, wollte aber einfach mal das "Kochrezept" benutzen, damit bin ich ja immer auf der sicheren Seite.
> > 2. Bei den Determinanten kann ich doch wirklich frei
> > entsccheiden, welche ich untersuche, oder? Hauptsache sie
> > ist [mm]\not=0,[/mm] oder?
>
> Nein: denn die beiden letzten Zeilen (No 4 u. 5 des LGS)
> könnten linear abhängiog sein. Das hättest du dann nicht
> erfasst.
>
Das verstehe ich jetzt nicht, kannst du das bitte noch etwas genauer beschreiben?
> > 3. Habe ich die Lösungsmenge richitg notiert oder
> > schreibt man das anders hin?
>
> Falsch ist sie nicht. Ich würde sie aber durch Aufzählen
> der Tupel aufschreiben, so wäre es üblich.
>
Mmh, kannst du mir das mal bitte aufschreiben?
>
> Gruß, Diophant
LG
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Hallo,
zu b): wenn die Spalten 4 u. 5 linear abhängig wären, dann wäre der Lösungsraum eindimensional und nicht zweidimensional. Wie würdest du das bei deiner Methode feststellen? 
zu c):
[mm] L=\{(3-3s-4t;7+2s-2t;11-3s-6t;s;t)\}
[/mm]
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> zu b): wenn die Spalten 4 u. 5 linear abhängig wären,
> dann wäre der Lösungsraum eindimensional und nicht
> zweidimensional. Wie würdest du das bei deiner Methode
> feststellen?
>
Ich habe hier doch insgesamt 5 Spalten des [mm] \IR^3, [/mm] davon sind die ersten drei doch offensichtlich lin. unabh. und somit müssen die letzten beiden Spalten doch lin. abh. sein, können also als Linearkombination der ersten drei notiert werden, oder?
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Hallo,
> Ich habe hier doch insgesamt 5 Spalten des [mm]\IR^3,[/mm] davon
> sind die ersten drei doch offensichtlich lin. unabh. und
> somit müssen die letzten beiden Spalten doch lin. abh.
> sein, können also als Linearkombination der ersten drei
> notiert werden, oder?
Die ersten drei Spalten bilden sogar eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Aber was du dann schreibst, zeigt eines deutlich: du hast das Konzept der linearen Unabhängigkeit (noch) nicht wirklich verstanden.
Jeder der Spalten 4 oder 5 oder auch ihre Summe lassen sich natürlich als Linearkombination der drei ersten Spalten darstellen, aber darum geht es doch gar nicht: du möchtest die Dimension des Lösungsraums bestimmen und dazu musst du wissen, ob die Spalten 4 und 5 für sich betrachtet linear unabhängig sind oder nicht. Im letzteren Fall wäre die Dimension des Lösungsraums nämlich gleich 1, da man dann mit einem Parameter auskommen würde. Bedenke dabei: <i>zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind.
Gruß, Diophant
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Hast du vielleicht noch eine konkrete Aufgabe für mich, bei der dieses Problem auftaucht?
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Hallo,
> Hast du vielleicht noch eine konkrete Aufgabe für mich,
> bei der dieses Problem auftaucht?
ich bin mal meine Antworten nochmal durchgegangen und habe festrgestellt, dass ich da wohl nicht ganz bei der Sache war. Natürlich war deine Vorgehensweise aus dem Startbeitrag richtig. Sorry für die Verwirrung, die ich da gestigtet habe.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Ist doch kein Problem, so musste ich ja auch noch einaml selbst darüber nachdenken, und das schadet bestimmt nicht! Ich danke dir für dein Bemühen mir zu helfen!
LG
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