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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Mo 08.12.2008 | | Autor: | moody |
Es geht um den Schnittwinkel von Kreisen. Dazu muss ich ja die Schnittpunkte der Kreise kennen. Also setz ich die Kreisgleichungen in ein LGS und berechne dann die Schnittpunkte der Kreise mit der Schnittgeraden.
Nur kommt da bei mir nichts raus:
[mm] K_1: M_1 [/mm] (2|-4) [mm] r^2 [/mm] = 17
[mm] K_2: M_2 [/mm] (-1|-1) [mm] r^2 [/mm] = 17
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] K_1: x_1^2 [/mm] - [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 8x_2 [/mm] = -3
[mm] K_2: x_1^2 [/mm] + [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2^2 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] = 15
Das habe ich in ein LGS geschrieben:
I [mm] x_1^2 [/mm] - [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 8x_2 [/mm] = -3
II [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2^2 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] = 15
Da kommt raus [mm] x_2 [/mm] = 6 + [mm] x_1
[/mm]
Wenn ich das dann in II einsetze habe ich da stehen:
[mm] 2x_1^2 [/mm] + [mm] 16x_1 [/mm] = -33
Wenn ich mit der pq Formel auflösen möchte steht unter der Wurzel
16-16.5
Also gäb es keine Schnittpunkte...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo moody,
> Es geht um den Schnittwinkel von Kreisen. Dazu muss ich ja
> die Schnittpunkte der Kreise kennen. Also setz ich die
> Kreisgleichungen in ein LGS und berechne dann die
> Schnittpunkte der Kreise mit der Schnittgeraden.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Versteh ich nicht. Wieso LGS? Du hast doch quadratische Gleichungen. Und was für eine Schnittgerade?
> Nur kommt da bei mir nichts raus:
>
> [mm]K_1: M_1[/mm] (2|-4) [mm]r^2[/mm] = 17
>
> [mm]K_2: M_2[/mm] (-1|-1) [mm]r^2[/mm] = 17
Die Mittelpunkte sind [mm] \wurzel{3^2+3^2}<\wurzel{17}+\wurzel{17} [/mm] voneinander entfernt. Es muss also Schnittpunkte geben.
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]K_1: x_1^2[/mm] - [mm]4x_1[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]8x_2[/mm] = -3
>
> [mm]K_2: x_1^2[/mm] + [mm]2x_1[/mm] + [mm]\red{2}x_2^2[/mm] + [mm]2x_2[/mm] = 15
ok, bis auf die rote 2.
> Das habe ich in ein LGS geschrieben:
>
>
> I [mm]x_1^2[/mm] - [mm]4x_1[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]8x_2[/mm] = -3
> II [mm]x_1^2[/mm] + [mm]2x_1[/mm] + [mm]\red{2}x_2^2[/mm] + [mm]2x_2[/mm] = 15
Was ist daran jetzt linear? Natürlich kannst Du z.B. II-I bilden (was der Gleichsetzung der beiden Kreisdarstellungen entspricht, aber schon ungewöhnlich als Vorgehensweise ist) und erhältst [mm] 6x_1-6x_2=18
[/mm]
> Da kommt raus [mm]x_2[/mm] = 6 + [mm]x_1[/mm]
Nö. [mm] x_2=x_1-3
[/mm]
Rechne ab hier mal weiter.
> Wenn ich das dann in II einsetze habe ich da stehen:
>
> [mm]2x_1^2[/mm] + [mm]16x_1[/mm] = -33
>
> Wenn ich mit der pq Formel auflösen möchte steht unter der
> Wurzel
>
> 16-16.5
>
> Also gäb es keine Schnittpunkte...
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Mal sehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Mo 08.12.2008 | | Autor: | moody |
> Nö. [mm]x_2=x_1-3[/mm]
>
> Rechne ab hier mal weiter.
Danke! Jetzt kommt auch was raus.
Wenn ich dann z.B. [mm] x_1 [/mm] = 2 in II einsetze kommt da was ziemlich krummes raus (2.69252...).
Ich bin mir sowie unsicher ob mir das alles hilft die Schnittpunkte der Kreise zu ermitteln.
Könnte mir jemand vielleicht den Weg aufzeigen wie ich die Schnittpunkte bestimmen kann?
Also wenn ich die kenne, kann ich ja die Tangente an der Stelle bestimmen und dann habe ich 2 Geraden, deren Schnittwinkel ich bestimmen kann.
Irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, so schwer düfte es ja eigentlich nicht sein, die Schnittpunkte von 2 Kreisen zu ermitteln.
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> Irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, so
> schwer düfte es ja eigentlich nicht sein, die Schnittpunkte
> von 2 Kreisen zu ermitteln.
Ist es auch nicht. Du weißt nur nicht, was Du eigentlich erreichen willst bei dem ganzen Herumrechnen.
Wenn sich Kreise schneiden, tun sie das normalerweise in genau zwei Punkten. Es gibt den entarteten Fall, wo sie sich nur berühren, dann eben in einem Punkt. In diesem Fall ist die Entfernung der Mittelpunkte gleich der Summe der beiden Radien. Das ist hier nicht so, die Entfernung ist kleiner [mm] \Rightarrow [/mm] zwei Schnittpunkte.
Du suchst nun also alle [mm] (x_1;x_2), [/mm] die beide Kreisgleichungen erfüllen. Darum bringst Du die Kreisgleichungen beider Kreise in eine Nullform: [mm] x_1^2+...+x_2^2+...=0 [/mm] und setzt die beiden linken Seiten gleich.
Soweit sind wir schon gekommen. So kam dieses Ergebnis zustande:
> > Nö. [mm]\red{x_2=x_1-3}[/mm]
Das reicht natürlich noch nicht. Das ist die Gleichung einer Geraden (auf der dann allerdings beide Schnittpunkte liegen werden - aber wo?).
> Wenn ich dann z.B. [mm]x_1[/mm] = 2 in II einsetze kommt da was
> ziemlich krummes raus (2.69252...).
Wozu setzt Du jetzt einen willkürlich gewählten Wert ein? Wohin willst Du mit Deiner Rechnung? Wenn Du das tust, kommt nichts "krummes" heraus, sondern eine Ungleichung. [mm] x_1=2, x_2=-1 [/mm] ist offenbar kein Schnittpunkt.
> Ich bin mir sowie unsicher ob mir das alles hilft die
> Schnittpunkte der Kreise zu ermitteln.
Nein, das hilft nicht die Bohne.
> Könnte mir jemand vielleicht den Weg aufzeigen wie ich die
> Schnittpunkte bestimmen kann?
Klar:
Du ersetzt in einer der beiden Kreisgleichungen (egal welcher) die Variable [mm] x_2 [/mm] durch die gefundene Entsprechung [mm] x_1-3 [/mm] (oder, wenn Dir das lieber ist, die Variable [mm] x_1 [/mm] durch [mm] x_2+3) [/mm] und erhältst eine quadratische Gleichung in [mm] x_1. [/mm] Diese hat nach der p,q-Formel zwei Lösungen [mm] x_{1,a} [/mm] und [mm] x_{1,b}. [/mm] Die dazugehörigen Werte [mm] x_{2,a} [/mm] und [mm] x_{2,b} [/mm] erhältst Du leicht aus Anwendung der oben rot markierten Gleichung.
> Also wenn ich die kenne, kann ich ja die Tangente an der
> Stelle bestimmen und dann habe ich 2 Geraden, deren
> Schnittwinkel ich bestimmen kann.
Dann mal los.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 08.12.2008 | | Autor: | moody |
> Wozu setzt Du jetzt einen willkürlich gewählten Wert ein?
> Wohin willst Du mit Deiner Rechnung? Wenn Du das tust,
> kommt nichts "krummes" heraus, sondern eine Ungleichung.
> [mm]x_1=2, x_2=-1[/mm] ist offenbar kein Schnittpunkt.
Also wenn ich dann für [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - 3 in II einsetze erhalte ich folgendes:
[mm] x_{1,a} [/mm] = 2
[mm] x_{1,b} [/mm] = -3
[mm] x_{2,a} [/mm] = -1
[mm] x_{2,b} [/mm] = - 6
Also:
[mm] S_1 [/mm] ( 2 | -1 )
[mm] S_2 [/mm] (-6 | -1 )
Wenn ich dann die Tangente am Berührpunkt [mm] S_1 [/mm] ausrechne erhalte ich:
[mm] x_2 [/mm] = - [mm] 9\bruch{2}{3}
[/mm]
Was ja irgendwie Murks ist.
Die Tangenter erhalte ich über
[mm] (\overrightarrow{OB} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM}) (\overrightarrow{OX} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM}) [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Und [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] ergibt dann [mm] \vektor{0 \\ -3} [/mm] wodurch [mm] x_1 [/mm] Werte wegfallen.
Was stimmt da noch nicht?
Wenn ich mir das zeichnen lasse weiß ich das
[mm] S_1 [/mm] ( -2 | -5 )
[mm] S_2 [/mm] (3 | 0 )
stimmen muss.
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> Also wenn ich dann für [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm] - 3 in II einsetze erhalte
> ich folgendes:
>
> [mm]x_{1,a}[/mm] = 2
> [mm]x_{1,b}[/mm] = -3
Ich nicht. Bei mir kommen 3 und -2 heraus. Rechne nochmal nach.
> [mm]x_{2,a}[/mm] = -1
> [mm]x_{2,b}[/mm] = - 6
>
> Also:
>
> [mm]S_1[/mm] ( 2 | -1 )
> [mm]S_2[/mm] (-6 | -1 )
Nebenbei: da setzt Du Deine eigenen Ergebnisse (auch wenn sie ja falsch sind) nicht richtig ein. [mm] S_2 [/mm] wäre nach den obigen Daten (-3 | -6).
> Wenn ich dann die Tangente am Berührpunkt [mm]S_1[/mm] ausrechne
> erhalte ich:
>
> [mm]x_2[/mm] = - [mm]9\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Was ja irgendwie Murks ist.
>
> Die Tangenter erhalte ich über
>
> [mm](\overrightarrow{OB}[/mm] - [mm]\overrightarrow{OM}) (\overrightarrow{OX}[/mm]
> - [mm]\overrightarrow{OM})[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Und [mm]\overrightarrow{OB}[/mm] - [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] ergibt dann
> [mm]\vektor{0 \\ -3}[/mm] wodurch [mm]x_1[/mm] Werte wegfallen.
>
> Was stimmt da noch nicht?
>
>
> Wenn ich mir das zeichnen lasse weiß ich das
>
> [mm]S_1[/mm] ( -2 | -5 )
> [mm]S_2[/mm] (3 | 0 )
>
> stimmen muss.
Nach meiner Rechnung stimmt das auch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 08.12.2008 | | Autor: | moody |
Wenn ich von den richtigen Schnittpunkte ausgehe die ich mit Geogebra bestimmt habe, komme ich auf:
[mm] g_1: [/mm] x + 4y = 3
[mm] g_2: [/mm] 4x + y = 12
Wie kriege ich daraus einen normalen Vektor, sodass ich die Schnittpunkte bestimmen kann?
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> Wenn ich von den richtigen Schnittpunkte ausgehe die ich
> mit Geogebra bestimmt habe, komme ich auf:
>
> [mm]g_1:[/mm] x + 4y = 3
> [mm]g_2:[/mm] 4x + y = 12
>
> Wie kriege ich daraus einen normalen Vektor, sodass ich die
> Schnittpunkte bestimmen kann?
Die einfachste Variante besteht darin, eine deiner Variablen wieder mit r (oder den Parameter vor deinem Richtungsvektor) gleichzusetzen.
z.B. x=4r
Das bedeutet jetzt
1. x=4r
2. y=3/4-r
Die Wahl ist völlig dir überlassen, ich habe 4r gewählt, damit bei y ebenfalls eine ganze Zahl vor r steht.
Jetzt folgt die Umwandlung in Parameterform:
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 3/4}+r*\vektor{4 \\ -1} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | moody |
Danke für eure Hilfe.
Ich habe die Aufgabe nun verstanden!
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