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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
| Aufgabe | Wie müssen [mm] \mu, \lambda \varepsilon \IR [/mm] gewählt werden, damit das Gleichungssystem
[mm] \vmat{ x_{1} & x_{2} & -x_{3} = 1 \\ 2x_{1} & 0x_{2} & 3x_{3} = -2 \\ x_{1} & -1x_{2} & \lambda x_{3} = \mu }
[/mm]
a) keine Lösung, b) genau eine Lösung, c) unendlich viele Lösungen hat? |
Hallo,
ich habe das LGS per Gauß-Algorithmus auf Treppenform gebracht, daraus kann ich dann ja die Lösungen ablesen.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda-4 & \mu+3 }
[/mm]
Da tu ich mich aber gerade so schwer, entschuldigt, jemand da, der mir da mal schnell helfen kann?
Danke euch.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Wie müssen [mm]\mu, \lambda \varepsilon \IR[/mm] gewählt werden,
> damit das Gleichungssystem
>
> [mm]\vmat{ x_{1} & x_{2} & -x_{3} = 1 \\ 2x_{1} & 0x_{2} & 3x_{3} = -2 \\ x_{1} & -1x_{2} & \lambda x_{3} = \mu }[/mm]
>
> a) keine Lösung, b) genau eine Lösung, c) unendlich viele
> Lösungen hat?
> Hallo,
> ich habe das LGS per Gauß-Algorithmus auf Treppenform
> gebracht, daraus kann ich dann ja die Lösungen ablesen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda-4 & \mu+3 }[/mm]
Ich habe deine Lösung jetzt nicht überprfüt, deshalb gehe ich mal daovn aus, dass diese stimmt.
>
> Da tu ich mich aber gerade so schwer, entschuldigt, jemand
> da, der mir da mal schnell helfen kann?
Nun ja, wann ist ein LGS eindeutig lösbar (hat also nur eine Lösung), wann hat es unendlich viele Lösungen, und wann keine?
Nun, es ist eindeutig lösbar, wenn in jeder Spalte des LGS ein Pivot-Element steht (oder auch anders formuliert, wenn jede Variable festgelegt ist...), d.h. in deinem Fall, dass [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sowieso festgelegt sind, aber der Faktor vorm [mm] x_3 [/mm] hängt ja von der Wahl von [mm] \lambda [/mm] ab.
Ist der Faktor vor deinem [mm] x_3 [/mm] ungleich 0, so ist auch [mm] x_3 [/mm] festgelegt, und du hast genau eine Lösung.
Was aber, wenn der Faktor gleich 0 ist? Dann steht da in der letzten Zeile so etwas wie [mm] 0=\mu+3.
[/mm]
Gut, wann ist diese Gleichung lösbar?
Tipp: Was ist, wenn in einem LGS 0=0 oder so etwas wie 0=1 steht?
Ich hoffe, damit kommst du weiter.
LG
Kroni
>
> Danke euch.
>
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
Hallo,
das hilft auf jeden Fall schon mal, danke, die Lösungen sind dann also so:
Genau eine Lösung, wenn:
[mm] \lambda \not= [/mm] 0
Unendlich viele Lösungen, wenn:
[mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \mu [/mm] = -3
Keine Lösung, wenn:
( [mm] \lambda [/mm] - 4 ) [mm] \not= [/mm] ( [mm] \mu [/mm] + 3 )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
fast.
Wenn [mm] >(\lambda-4) [/mm] ungleich 0 ist, dann hast du genau eine Lösung!
Was ist, wenn [mm] \lambda=4? [/mm] Was muss dann für [mm] \mu+3 [/mm] gelten?
Denke da noch einmal drüber nach =)
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
Hallo,
danke für die Hilfe, also noch mal, dann müsste es so sein:
>Was ist, wenn [mm] \lambda=4? [/mm] Was muss dann für [mm] \mu+3 [/mm] gelten?
[mm] \mu [/mm] müsste dann ja -3 sein, sonst gibt es keine Lösung?
Genau eine Lösung, wenn:
[mm] \lambda [/mm] - 4 [mm] \not= [/mm] 0
Unendlich viele Lösungen, wenn:
[mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \mu [/mm] = -3
Keine Lösung, wenn:
[mm] \lambda [/mm] = 0 [mm] \wedge \mu \not= [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
> danke für die Hilfe, also noch mal, dann müsste es so
> sein:
Hi,
>
> >Was ist, wenn [mm]\lambda=4?[/mm] Was muss dann für [mm]\mu+3[/mm] gelten?
> [mm]\mu[/mm] müsste dann ja -3 sein, sonst gibt es keine Lösung?
Korrekt! Denn wenn lambda=4 steht dort als Koeffizient eine Null. Wenn [mm] \mu [/mm] dann gleich -3 ist, steht da 0=0, also unendlich viele Lösungen. Wenn [mm] \mu [/mm] ungleich -3, steht da sowas wie 0=1, was unlösbar ist, somit keine Lösung.
>
> Genau eine Lösung, wenn:
> [mm]\lambda[/mm] - 4 [mm]\not=[/mm] 0
Genau.
>
> Unendlich viele Lösungen, wenn:
> [mm]\lambda[/mm] = 0 und [mm]\mu[/mm] = -3
Nein. Wenn Lambda=0 ist, dann ist der Koeffizient doch gleich -4 und somit schon festgelegt!
Wenn lambda=4 und [mm] \mu=-3, [/mm] dann giubt es unenldich viele Lösungen.
>
> Keine Lösung, wenn:
> [mm]\lambda[/mm] = 0 [mm]\wedge \mu \not=[/mm] 0
Auch leider falsch. Wenn [mm] \lambda=4 [/mm] und [mm] \mu [/mm] dann ungleich -3 gibt es keine Lösung!
Das hattest du aber doch oben schon richtig hingeschrieben...
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
Hallo,
sorry, schwere Geburt ... ich bin leicht durcheinander.
Klar, du hast recht, habe gerade gelesen, wenn [mm] \lambda [/mm] = 0, dann ist die Seite 0 und nicht -4 ..
Also noch mal ganz neu nachgedacht:
Nur eine Lösung, wenn:
[mm] \lambda [/mm] = 0
Unendlich viele Läsungen, wenn:
[mm] \lambda [/mm] = 4 und [mm] \mu [/mm] = -3
Keine Lösungen, wenn:
[mm] \lambda= [/mm] 4 und [mm] \mu \not= [/mm] -3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
Sorry, ein Fehler hat sich eingeschliechen:
Also noch mal ganz neu nachgedacht:
Nur eine Lösung, wenn:
[mm] \lambda \not= [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, das stimmt so leider nicht.
Du hast doch genau eine Lösung, wenn der Koeffizient vor deinem [mm] x_3 [/mm] ungleich Null ist. Der Koeffizient ist dein [mm] \lambda-4. [/mm] Wann ist [mm] \lambda-4 [/mm] ungleich Null?
Was ist, wenn dein Koeffizient gleich Null ist? Also was ist, wenn [mm] \lambda-4=0?
[/mm]
Was muss dann für die rechte Seite der Gleichung gelten, damit du unendlich viele Lösungen hast, und was, damit du keine Lösung hast?
Du kannst nicht einfach sagen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] sein muss! Angenommen, [mm] \lambda [/mm] sei gleich 0. Dann steht da [mm] -4x_3= [/mm] irgendetwas. Das kannst du IMMER nach [mm] x_3 [/mm] auflösen....
Wie gesagt, du musst immer nur schaun, was ist, wenn der gesamte Koeffizient (in deinem Fall der komplette Ausdruck [mm] \lambda-4) [/mm] gleich oder ungleich Null ist...
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 25.11.2007 | | Autor: | zajad |
Hey,
ich habs verstanden, ich hab die ganze Zeit nicht richtig darauf geachtet, dass ja [mm] \lambda [/mm] und die -4 zusammen ein Koeffizient ergibt. Sorry.
So muss es nun stimmen:
Keine Lösung:
[mm] \lambda [/mm] - 4 = 0 und [mm] \mu [/mm] + 3 [mm] \not= [/mm] 0
Unendlich viele Lösungen:
[mm] \lambda [/mm] - 4 = 0 und [mm] \mu [/mm] + 3 = 0
Eine Lösung:
[mm] \lambda [/mm] - 4 [mm] \not= [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, so schauts gut aus=)
LG
Kroni
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