LGS in abhängigkeit von r < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimmen sie unter verwendung des gaußschen verfahrens die lösungsmenge des folgenden gleichungssystems in abhängigkeit von dem parameter $r [mm] \in \IR$
[/mm]
$4x-y=ry$
$2x+y=rx$
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salute zusammen!
hab mich mal an dieser aufgabe probiert aber ich bin mir sehr unsicher obs so stimmt. ich bräuchte sie unbedingt zu montag...wäre schön, wenn sich ihr jemand annehmen könnte ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
LGS(G)
$ 4x-y=ry $
$ 2x+y=rx $
habe die zweite gleichung $ [mm] \cdot(-2) [/mm] $ genommen, zur ersten addiert und nach $ x $ aufgelöst
somit: $ [mm] x=\bruch{ry}{(6-r)} [/mm] $
eingesetzt in die erste gleichung, wobei dann allerdings $y$ entfällt.
komme somit auf eine quadratische gleichung von $r$
[mm] $0=r^2-r-6$ [/mm] für [mm] $r_1=3$ [/mm] und [mm] $r_2=-2$
[/mm]
bedeutet das nun,dass G für [mm] $r_1_2$ $\IL=\left\{ (x,y):x=y\in \IR \right\} [/mm] $ hat und/oder was ist für $ [mm] r\ne r_1_2 [/mm] $ ähmm, hab ich mich total vertüdelt???
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Hallo molekular,
Forme zunächst das LGS um:
[mm] $\vmat{ &4x & -&y&=&ry \\ &2x & +&y&=&rx }$ [/mm] zu
[mm] $\vmat{ &4x & -&(1+r)y&=0 \\ &(2-r)x & +&y&=0 }$
[/mm]
Nun kannst du das -4fache der 2.Zeile zum (2-r)fachen [mm] (r\neq [/mm] 2) der 1.Zeile addieren und bekommst nach einigen Umformungen
[mm] $\vmat{ && &(r-3)(r+2)y&=0 \\ &(2-r)x & +&y&=0 }$
[/mm]
Hier kannst du nun die nötigen Fallunterscheidungen bzgl. $r$ machen
1.Fall: [mm] $r\neq [/mm] 3, [mm] r\neq [/mm] -2$
2.Fall: $r=3$
3.Fall: $r=-2$
Nun bestimme mal für diese 3 Fälle die jeweilige Lösungsmenge...
Da wir für die Umformungen $r=2$ rausnehmen mussten, um die Lösungsmenge unverändert zu lassen, musst du diesen Fall am Schluss noch kurz untersuchen.
Setze dazu $r=2$ in das LGS ein...
LG
schachuzipus
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