LGS Problem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Zu untersuchen gilt das LGS mit dem frei wählbaren Parameter k [mm] \in \IR
[/mm]
x+y+z=1
x-y+2*z=0
(k-1)x-k*y+z=1
kx-2y+kz=0
Lösung: Keine Lösung |
Hallo alle zusammen.
Also ich löse LGS immer nach Gauss, also wie folgt:
x+y+z=1
x-y+2*z=0
(k-1)x-k*y+z=1
kx-2y+kz=0
umstellen:
y+x+z=1
-y+x+2z=0
-ky+(k-1)x+z=1
-2y+kx+kz=0
Addition erster beiden Zeilen ergibt:
[mm]2x+3z=1[/mm]
3. Zeile *(-2)
4. Zeile *k
ergibt:
[mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm]
aus: [mm]2x+3z=1[/mm]
folgt: [mm]2x=1-3z[/mm]
Nun multipliziere ich das Ergebnis: [mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm] mit 2 um dann schön einsetzen zu können:
[mm]2x*(k²-2k+2)+2z*(k²-2)=-4[/mm]
daraus folgt: z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6
Das Ergebnis bis hier her stimmt (habe es kontrolliert mit meinem Taschenrechner)
somit ist z
z= [mm] \bruch{-k²+2k-6}{-k²+6k-10}
[/mm]
aus [mm]2x=1-3z[/mm] bekomme ich heraus, dass x:
x= [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{3*(-k²+2k-6)}{2*(-k²+6k-10)}
[/mm]
nun suche ich noch y, ich nehme die Zeile:
-y+x+2z=0
setze dort x / z ein und bekomme für y:
[mm] y=\bruch{k²-4k+8}{k²-6k+10}
[/mm]
zur Kontrolle setze ich das in die 1. Gleichung ein und erhalte dass die Werte für x,y,z
x+y+z=1
diese Gleichung erfüllen.
Was mache ich falsch? Es muss doch jede Gleichung erfüllt sein, oder muss ich die Lösung in alle Gleichungen einsetzen um zu kontrollieren?
lg
Zuggel
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
ich finde, das ist alles höllisch zu kontrollieren, du solltest wahrlich den Kram in Matrixschreibweise aufschreiben, das ist handlicher, bequemer und übersichtlicher 
Ich hatte jetzt nicht die Riesenlust, mich da durchzuwursteln und möchte dir (m)einen Weg in Matrixschreibweise zeigen
Das LGS in Matrixdarstellung (erweiterte Koeffizientenmatrix) sieht ja so aus:
[mm] $\pmat{1&1&1&\mid&1\\1&-1&2&\mid&0\\k-1&-k&1&\mid&1\\k&-2&k&\mid&0}$
[/mm]
Hier habe ich die Zeilen 1 und 2 getauscht, dann ist in der neuen ersten Zeile rechterhand eine 0
[mm] $\pmat{1&-1&2&\mid&0\\1&1&1&\mid&1\\k-1&-k&1&\mid&1\\k&-2&k&\mid&0}$
[/mm]
Hier nun mehrere Schritte in einem, du kannst, wenn du magst, nachrechnen
(I) $(-1)$-faches der 1.Zeile zur 2.Zeile addieren
(II) $(1-k)$-faches der 1.Zeile zur 3.Zeile addieren
(III) $(-k)$-faches der 1.Zeile zur 4.Zeile addieren
Das gibt
[mm] $\pmat{1&-1&2&\mid&0\\0&2&-1&\mid&1\\0&-1&3-2k&\mid&1\\0&k-2&-k&\mid&0}$
[/mm]
Weiter:
(I) 2.Zeile zum 2-fachen der 3.Zeile addieren
(II) das $(k-2)$-fache der 2.Zeile zum $(-2)$-fachen der 4.Zeile addieren
[mm] $\pmat{1&-1&2&\mid&0\\0&2&-1&\mid&1\\0&0&5-4k&\mid&3\\0&0&2+k&\mid&k-2}$
[/mm]
Nun nur noch das $-(2+k)$-fache der 3.Zeile zum $(5-4k)$-fachen der 4.Zeile addieren, das gibt
[mm] $\pmat{1&-1&2&\mid&0\\0&2&-1&\mid&1\\0&0&5-4k&\mid&3\\0&0&0&\mid&-4k^2+10k-16}$
[/mm]
Und [mm] $-4k^2+10k-16\neq [/mm] 0$ für alle reellen k
Damit gibt's keine Lösung
Da ich damit nicht näher auf deine Lösung eingegangen bin, stelle ich's mal auf teilweise beantwortet, vllt. wagt sich ein anderer an die Korrektur
Schönen Abend
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
die Antwort von schachuzipus habe ich nur überflogen.
Hier eine kurze Durchsicht Deiner Anfrage:
> Zu untersuchen gilt das LGS mit dem frei wählbaren
> Parameter k [mm]\in \IR[/mm]
>
> x+y+z=1
> x-y+2*z=0
> (k-1)x-k*y+z=1
> kx-2y+kz=0
>
> Lösung: Keine Lösung
> Hallo alle zusammen.
>
> Also ich löse LGS immer nach Gauss, also wie folgt:
>
> x+y+z=1
> x-y+2*z=0
> (k-1)x-k*y+z=1
> kx-2y+kz=0
>
> umstellen:
>
> y+x+z=1
> -y+x+2z=0
> -ky+(k-1)x+z=1
> -2y+kx+kz=0
>
> Addition erster beiden Zeilen ergibt:
>
> [mm]2x+3z=1[/mm]
>
> 3. Zeile *(-2)
> 4. Zeile *k
>
> ergibt:
>
> [mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm]
>
> aus: [mm]2x+3z=1[/mm]
> folgt: [mm]2x=1-3z[/mm]
>
> Nun multipliziere ich das Ergebnis: [mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm]
> mit 2 um dann schön einsetzen zu können:
>
> [mm]2x*(k²-2k+2)+2z*(k²-2)=-4[/mm]
Bis hier alles gut
> daraus folgt: z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6
>
> Das Ergebnis bis hier her stimmt (habe es kontrolliert mit
> meinem Taschenrechner)
Dann habe ich mit Deinem Taschenrechner eine Meinungsverschiedenheit.
Ich bekomme: [mm] z(-k^2+6k-10)=-k^2+2k-\red{2}
[/mm]
edit: Seufz. Der Taschenrechner hat doch recht. Ich habe die "-4" auf der rechten Seite nicht auf mein Papier übernommen.
Das verwende ich ab hier mal weiter.
edit: Damit ist alles ab hier hinfällig.
> somit ist z
>
> [mm] z=\bruch{-k^2+2k-\red{2}}{-k^2+6k-10}=\blue{\bruch{k^2-2k+\red{2}}{k^2-6k+10}}
[/mm]
>
> aus [mm]2x=1-3z[/mm] bekomme ich heraus, dass x:
>
> x= [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{3(k^2-2k+\red{2})}{2(k²-6k+10)}[/mm]
>
>
> nun suche ich noch y, ich nehme die Zeile:
>
> -y+x+2z=0
>
> setze dort x und z ein und bekomme für y:
>
> [mm]y=\bruch{k²-4k+8}{k²-6k+10}[/mm]
Da ist irgendwas schiefgegangen. Mit dem jetzt korrigierten x und z erhalte ich:
[mm] y=\bruch{3k^2-14k+22}{2(k^2-6k+10)}
[/mm]
edit: Falsch. s.o.
> zur Kontrolle setze ich das in die 1. Gleichung ein und
> erhalte dass die Werte für x,y,z
>
> x+y+z=1
>
> diese Gleichung erfüllen.
Meintest Du: nicht erfüllen?
Jetzt erhalte ich (neue Werte): [mm] x+y+z=1+\green{\bruch{k^2-7k+11}{k^2-6k+10}}
[/mm]
edit: Auch falsch. s.o.
> Was mache ich falsch? Es muss doch jede Gleichung erfüllt
> sein,
Ja! Wenn nicht, ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Nichts anderes hat schachuzipus gezeigt.
> oder muss ich die Lösung in alle Gleichungen
> einsetzen um zu kontrollieren?
Nein!
Nach neuem Stand sind wir ja noch nicht ganz so weit. Man muss noch den Zähler des grünen Bruches auf Nullstellen untersuchen. Leider Pech. Hätte es eine oder zwei gegeben, dann hätte es in Abhängigkeit von k doch eine oder zwei Lösungen gegeben.
edit: Auch wenn mein Ergebnis nicht stimmt: der Weg als solcher hätte funktioniert. Mit dem gleichen Ergebnis - das LGS ist nicht lösbar.
> lg
> Zuggel
auch so,
reverend
PS: So, und jetzt darfst Du mal meine Fehler suchen.
edit: Gratuliere, gefunden.
Ich hoffe, außer einer verschwiegenen (und dann nicht ergiebigen) Fallunterscheidung gibt es nicht viel zu finden, aber wer weiß. Nobody is perfect.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Di 30.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
....
>
> Bis hier alles gut
>
> > daraus folgt: z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6
> >
> > Das Ergebnis bis hier her stimmt (habe es kontrolliert mit
> > meinem Taschenrechner)
>
> Dann habe ich mit Deinem Taschenrechner eine
> Meinungsverschiedenheit.
> Ich bekomme: [mm]z(-k^2+6k-10)=-k^2+2k-\red{2}[/mm]
Also folgender Rechenweg:
[mm](1-3z)*(k²-2k+2)+2z(k²-2)=-4[/mm]
[mm](k²-2k+2)-3z*(k²-2k+2)+2z(k²-2)=-4[/mm]
[mm] z*(3*(k²-2k+2)+2k²-4)=-4-k²+2k-2[/mm]
[mm] \green{z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6} [/mm]
Also wage ich es zu behaupten, dass du hier einen Fehler gemacht hast, kann das sein?
.....
> > zur Kontrolle setze ich das in die 1. Gleichung ein und
> > erhalte dass die Werte für x,y,z
> >
> > x+y+z=1
> >
> > diese Gleichung erfüllen.
>
> Meintest Du: nicht erfüllen?
>
> Jetzt erhalte ich (neue Werte):
> [mm]x+y+z=1+\green{\bruch{k^2-7k+11}{k^2-6k+10}}[/mm]
Wie du jetzt auf diese Gleichung kommst, ist mir ein Rätsel...
>
> > Was mache ich falsch? Es muss doch jede Gleichung erfüllt
> > sein,
> Ja! Wenn nicht, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
> Nichts anderes hat schachuzipus gezeigt.
>
> > oder muss ich die Lösung in alle Gleichungen
> > einsetzen um zu kontrollieren?
> Nein!
>
> Nach neuem Stand sind wir ja noch nicht ganz so weit. Man
> muss noch den Zähler des grünen Bruches auf Nullstellen
> untersuchen. Leider Pech. Hätte es eine oder zwei gegeben,
> dann hätte es in Abhängigkeit von k doch eine oder zwei
> Lösungen gegeben.
>
> > lg
> > Zuggel
>
> auch so,
> reverend
>
> PS: So, und jetzt darfst Du mal meine Fehler suchen.
> Ich hoffe, außer einer verschwiegenen (und dann nicht
> ergiebigen) Fallunterscheidung gibt es nicht viel zu
> finden, aber wer weiß. Nobody is perfect.
lg
Zuggel
|
|
|
| |
|
Hallo Zuggel,
Du hast Recht, ich nicht.
> Also folgender Rechenweg:
>
> [mm](1-3z)*(k²-2k+2)+2z(k²-2)=-4[/mm]
> [mm](k²-2k+2)-3z*(k²-2k+2)+2z(k²-2)=-4[/mm]
> [mm]z*(3*(k²-2k+2)+2k²-4)=-4-k²+2k-2[/mm]
> [mm]\green{z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6} [/mm]
>
> Also wage ich es zu behaupten, dass du hier einen Fehler
> gemacht hast, kann das sein?
Ja, das ist so. Ich habe meinen letzten Beitrag daraufhin eben revidiert.
> > Jetzt erhalte ich (neue Werte):
> > [mm]x+y+z=1+\green{\bruch{k^2-7k+11}{k^2-6k+10}}[/mm]
>
> Wie du jetzt auf diese Gleichung kommst, ist mir ein
> Rätsel...
Das wiederum ist nicht schwierig nachzuvollziehen. Nimm meine drei falschen Werte, bringe alles auf einen Hauptnenner, addiere und teile dann neu auf in einen Bruch, der 1 ergibt und einen Rest, der sieht hier grün aus.
Schön, dass die Aufgabe inzwischen gelöst ist.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Di 30.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Zu untersuchen gilt das LGS mit dem frei wählbaren
> Parameter k [mm]\in \IR[/mm]
>
> x+y+z=1
> x-y+2*z=0
> (k-1)x-k*y+z=1
> kx-2y+kz=0
>
> Lösung: Keine Lösung
> Hallo alle zusammen.
>
> Also ich löse LGS immer nach Gauss, also wie folgt:
>
> x+y+z=1
> x-y+2*z=0
> (k-1)x-k*y+z=1
> kx-2y+kz=0
Hallo,
ich finde dein Vorgehen unnötig kompliziert. Mit drei Unbekannten und 4 Gleichungen ist das System überbestimmt.
Nimm dir 3 der 4 Gleichungen, löse dieses System in Abhängigkeit von k und teste die Lösung in der nicht verwendeten 4. Gleichung.
Gruß Abakus
>
> umstellen:
>
> y+x+z=1
> -y+x+2z=0
> -ky+(k-1)x+z=1
> -2y+kx+kz=0
>
> Addition erster beiden Zeilen ergibt:
>
> [mm]2x+3z=1[/mm]
>
> 3. Zeile *(-2)
> 4. Zeile *k
>
> ergibt:
>
> [mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm]
>
> aus: [mm]2x+3z=1[/mm]
> folgt: [mm]2x=1-3z[/mm]
>
> Nun multipliziere ich das Ergebnis: [mm]x*(k²-2k+2)+z*(k²-2)=-2[/mm]
> mit 2 um dann schön einsetzen zu können:
>
> [mm]2x*(k²-2k+2)+2z*(k²-2)=-4[/mm]
>
> daraus folgt: z(-k²+6k-10)=-k²+2k-6
>
> Das Ergebnis bis hier her stimmt (habe es kontrolliert mit
> meinem Taschenrechner)
>
> somit ist z
>
> z= [mm]\bruch{-k²+2k-6}{-k²+6k-10}[/mm]
>
> aus [mm]2x=1-3z[/mm] bekomme ich heraus, dass x:
>
> x= [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{3*(-k²+2k-6)}{2*(-k²+6k-10)}[/mm]
>
>
> nun suche ich noch y, ich nehme die Zeile:
>
> -y+x+2z=0
>
> setze dort x / z ein und bekomme für y:
>
> [mm]y=\bruch{k²-4k+8}{k²-6k+10}[/mm]
>
> zur Kontrolle setze ich das in die 1. Gleichung ein und
> erhalte dass die Werte für x,y,z
>
>
> x+y+z=1
>
> diese Gleichung erfüllen.
>
>
>
> Was mache ich falsch? Es muss doch jede Gleichung erfüllt
> sein, oder muss ich die Lösung in alle Gleichungen
> einsetzen um zu kontrollieren?
>
>
> lg
> Zuggel
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 30.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo Abakus.
Da muss ich dir wohl Recht geben, hier der Lösungsweg:
x+y+z=1
x-y+2z=0
kx-2y+kz=0
Zeile 1 und 2:
2x+3z=1
Zeile 1(*2) - Zeile 3
x(2+k)+z(2+k)=2
Additionsverfahren:
[mm] 2x+3z=1 mit \green{*(2+k)} [/mm]
[mm] x(2+k)+z(2+k)=2 mit \green{*-2} [/mm]
z(2+k)=k-2
[mm] z=\bruch{k-2}{2+k}
[/mm]
daraus folgt
[mm] x=1/2-\bruch{k-2}{2+k}*\bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{4-k}{2+k}
[/mm]
[mm] y=1-\bruch{4-k}{2+k}-\bruch{k-2}{2+k}=\bruch{k}{2+k}
[/mm]
Kontrolle mit: [mm](k-1)x-ky+z=1[/mm]
[mm] (k-1)*\bruch{4-k}{2+k}-k*\bruch{k}{2+k}+\bruch{k-2}{2+k}[/mm]
dabei komme ich auf:
[mm] \bruch{6k-6-2k²}{2+k}=1
[/mm]
[mm]-2k²+5k-8=0[/mm]
Somit sieht man, dass es keinen Wert für k gibt, welcher das System lösen kann.
Ich bedanke mich an der Stelle an alle Beteilitgen, meine Frage bleibt noch offen, vielleicht finden wir ja noch etwas interessantes heraus
lg
Zuggel
|
|
|
|
