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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 07.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | a) Für welche k [mm] \in [/mm] R ist das Gleichungssystem
x +ky = 1 , kx +y = 1
unlösbar, eindeutig lösbar bzw. mehrdeutig lösbar? Begründung!
b) Für welche k [mm] \in [/mm] R ist die Matrix Q = [mm] \pmat{ 1 & k \\ k & 1 } [/mm] orthogonal, d.h. es gilt [mm] QQ^T [/mm] = [mm] Q^T [/mm] Q= E? |
moin,
zu a)
wenn ich das LGs mit Matrix-Umformungen löse:
[mm] \pmat{ 1 & k :1 \\ k & 1 :1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & k :1 | * (-k)\\ k & 1 : 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -k & -k^2 : -k \\ k & 1 : 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & k : 1 \\ 0 & 1-k^2 : 1 -k }
[/mm]
[mm] (1-k^2)*y [/mm] = 1-k diese gleichung kann ich zerlegen (3. bin. formel)
(1-k)(1+k)*y = 1-k kann ich dann auch durch (1-k) teilen, oder muss ich 1-k=0 ausschliessen, d.h. k=1???
also, wenn ich das tue, dann
(1+k)*y = 1
und für k [mm] \ne [/mm] -1
y= [mm] \bruch{1}{1+k}
[/mm]
eingesetzt in 1. gleichung
x+ky = 1
x + [mm] k(\bruch{1}{k+1}) [/mm] = 1
x = 1 - [mm] (\bruch{k}{k+1}) [/mm]
x = [mm] \bruch{1}{k+1}
[/mm]
y= [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm]
d.h. für k [mm] \ne [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] k [mm] \ne [/mm] -1
erhalte ich eine eindeutige lösung.
für k=1 sogar unendlich viele lösungen... allerdings: nochmal die frage: muss ich k=1 nicht vorher ausschliessen??? bin etwas verwirrt!
b) keine idee! -> ???
danke und gruß
wolfgang
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> a) Für welche k [mm]\in[/mm] R ist das Gleichungssystem
>
> x +ky = 1 , kx +y = 1
>
> unlösbar, eindeutig lösbar bzw. mehrdeutig lösbar?
> Begründung!
>
> b) Für welche k [mm]\in[/mm] R ist die Matrix Q = [mm]\pmat{ 1 & k \\ k & 1 }[/mm]
> orthogonal, d.h. es gilt [mm]QQ^T[/mm] = [mm]Q^T[/mm] Q= E?
> moin,
>
> zu a)
>
> wenn ich das LGs mit Matrix-Umformungen löse:
>
> [mm]\pmat{ 1 & k :1 \\ k & 1 :1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & k :1 | * (-k)\\ k & 1 : 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -k & -k^2 : -k \\ k & 1 : 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & k : 1 \\ 0 & 1-k^2 : 1 -k }[/mm]
>
> [mm](1-k^2)*y[/mm] = 1-k diese gleichung kann ich zerlegen (3.
> bin. formel)
>
> (1-k)(1+k)*y = 1-k kann ich dann auch durch (1-k)
> teilen, oder muss ich 1-k=0 ausschliessen, d.h. k=1???
Hallo,
beides mußt Du tun.
Du teilst durch 1-k, schreibst aber dazu "für k [mm] \not=1".
[/mm]
jetzt führst Du Deine Überlegungen für k [mm] \not=1 [/mm] zum Ende, wie Du es getan hast.
An der Stelle, an welcher Du durch 1+k dividierst, mußt Du notieren "für k [mm] \not= [/mm] -1", so wie Du es ja auch getan hast.
Das Ergebnis, welches Du also in diesem Zweig der Rechnung erhältst, gilt für k [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{1,-1\}.
[/mm]
Danach mußt Du noch die Fälle k=1 und k=-1 untersuchen.
Beide Fälle sind nicht verboten! Sie mußten lediglich ausgeschlossen werden, weil Du im Zuge Deiner Berechnungen Operationen durchgeführt hast, die für diese beiden k nicht erlaubt sind.
Deshalb: "Spezialuntersuchung" für die beiden.
> b) keine idee!
Du sollst herausfinden, für welche k [mm] QQ^T [/mm] = E gilt.
Berechne hierzu [mm] QQ^T, [/mm] setze es mit der Einheitsmatrix gleich.
Durch Vergleich der beiden Matrizen erhältst Du Gleichungen, aus denen Du Informationen darüber bekommst, wie Dein k beschaffen sein muß, um das Geforderte zu tun.
Gruß v. Angela
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