LGS: Lösungsmenge angeben < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 19.04.2005 | | Autor: | Wogi |
Hallo Micha,
1. Ein lineares Gleichungssystem schreiben wir in der Form Ax=b.
A ist eine Matrix, x ist der Lösungsvektor, b ist ein Vektor.
Ein Beispiel für zwei Gleichungen:
[mm] \pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 2 } \vektor{x \\ y} =\vektor{1 \\ 4}
[/mm]
2. Das Gleichungssystem (GS) löst du mit dem Gaußschen Algorithmus.
Wenn das GS eindeutig lösbar ist, also nur eine Lösung hat, bekommst du dann eine rechte obere Dreiecksmatrix heraus, zum Beispiel hier:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 4} \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 3 & -6 & -12\\ }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 0 & 7 & 13\\ } [/mm]
Das heißt 7y=13, also [mm] y=\bruch{13}{7} [/mm] und [mm] x=\bruch{1-\bruch{13}{7}} [/mm] {3} also x= [mm] \bruch{-6}{21}
[/mm]
Das GLS hat nur eine Lösung.
L={(x,y) mit [mm] x=\bruch{-6}{21} [/mm] und [mm] y=\bruch{13}{7} [/mm] }
sprich: Die Lösungsmenge L ist die Menge der Vektoren (x,y) mit x=... und y=... , was hier nur ein einziger Vektor ist.
3. Wenn das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, merkt man das an folgenden Dingen:
a) Wenn man genauso viel Gleichungen wie Unbekannte hat, aber beim Gaußalgorithmus die Matrix unten eine oder mehrer Nullzeilen bekommt. Dann brauchst du eine Variable nicht lösen, mußt aber die Lösungen in Abhängigkeit von dieser Variable darstellen.
Billiges Beispiel:
pmat{ 3 & 1 [mm] \\ [/mm] 6 & 2 } [mm] \vektor{x \\ y} =\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Es ist
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 6 & 2 & 2} \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 1\\ }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ } [/mm]
, also ist 3x+y=1 und
L={(x,y) mit [mm] x=\bruch{1-y}{3}} [/mm] Das sind unendlich viele, denn für y könnte ich ja jede belibige Zahl einsetzen.
b) Es hätte aber auch folgendes passieren können:
pmat{ 3 & 1 [mm] \\ [/mm] 6 & 2 } [mm] \vektor{x \\ y} =\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Dann ist die erweiterte Koeffizientenmatrix.
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 6 & 2 & 0} \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 0\\ }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 3 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ } [/mm]
Da steht in der letzten Zeile 0*x +0*y =1 . Das ist aber ein Widerspruch, denn 0=1 geht nicht. Dann hat das Gleichungssystem keine Lösung, und du schreibst:
L= [mm] \emptyset [/mm] , also L ist die leere Menge.
Grob gesprochen: Es kommt darauf an, wie die letzte(n) Zeile(n) beim Gauß-Algorithmus aussehen. Hast du unten eine Nullzeile, dann hast du keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele. Hast du eine Nullzeile unten, wo rechts aber noch eine Zahl verschieden von Null steht, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Es gibt noch ordentlichere Kriterien, aber dafür braucht man Hochschulalgebra.
Das mit den Abbildungen kannst du so verstehen:
Die Matrix A bildet den Vektor x linear auf den Vektor b ab. (Die Variablen kommen nur in der Potenz 1 vor, wir haben also keine quadratischen Funktionen oder so was) Man nennt sie deswegen lineare Abbildung.
Ich hoffe, das war ein wenig erhellend.
Tschüß,
Stefan
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