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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mathefux |
| Aufgabe | Gegeben ist das LGS:
x1+ x2-2x3+4x4=5
2x1+2x2-3x3+x4 =3
3x1+3x2-4x3-2x4 =1
Untersuchen sie das LGS auf Lösbarkeit ( eindeutig, mehrdeutig, nicht lösbar) |
Hab ich alles richtig gerechnet? Mir ist da besodners wichtig ob ich den richtign ferien Paramter gewählt hab:
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & -2 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & -4 & -2 & 1 } [/mm] | (I*-2)+II | (I*-3)+III
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 } [/mm] | (II+I)
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 &-14} [/mm] |(II*-1)+III
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -10 & -7} [/mm]
1. rank(A)=3 , rank(A|b)=3
2. n-r=4-3=1 -> 1 freier Parameter
rank(A)=rank(A|b) < n -> mehrdeutig lösbar!
3.
-> x2= M
-10x4=-7
-> [mm] x4=\bruch{7}{10}
[/mm]
[mm] 2x3-\bruch{4}{10}=-7
[/mm]
-> [mm] x3=\bruch-{33}{10}
[/mm]
x1+M=-2
-> x1=-2-M
Ist das alles richtig so? Parameter richtig gewählt? x2=M
Mfg
EDIT:// Hab paar Kleinigkeiten korrigiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 28.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben ist das LGS:
>
> x1+ x2-2x3+4x4=5
> 2x1+2x2-3x3+x4 =3
> 3x1+3x2-4x3-2x4 =1
>
> Untersuchen sie das LGS auf Lösbarkeit ( eindeutig,
> mehrdeutig, nicht lösbar)
> Hab ich alles richtig gerechnet? Mir ist da besodners
> wichtig ob ich den richtign ferien Paramter gewählt hab:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & -2 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & -4 & -2 & 1 }[/mm]
> | (I*-2)+II | (I*-3)+III
>
Die Matrix müsste lauten
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & -3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & -4 & -2 & 1 }
[/mm]
für den Rang(A) gilt Rang(A)=2
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Ach Mist, großer Fehler , dankeschön!
Das neue Ergbnis, ich krieg aber nur Rang(A|b) = 3 raus
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & -3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & -4 & -2 & 1 } [/mm] | (I*-2)+II (I*-3)+III
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 } [/mm] | (II*-2)+III
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & 0 } [/mm] | (II*2)+I
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 & -4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & 0 } [/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 & -4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
-> rank(A|b)=3
->rank(A)=3
damit wäre meine LGS mehrdeutig lösbar
ist das richtig bis hier?
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Habe auch falsch gerechnet, sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Hi, hab ich den nun richtig gerechnet?
Mfg
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Hallo mathefux,
nein, du hast schon wieder die falsche "Startmatrix" genommen.
Der Eintrag [mm] $a_{24}$ [/mm] ist $1$ !! und nicht $4$
Dann kommst du mit deiner obigen ersten Umformung auf
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & \red{-7} & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 }$
[/mm]
Und hier siehst du schon, dass du eine Nullzeile erhältst, also ist $rg(A|b)=rg(A)=2$
Also existiert eine Lösung ... denn der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Argh, schon wieder einen falschen Wert... Danke für den Hinweis
So die Endmatrix müsste jetzt so aussehen
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & -10 & 19 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
n-r=4-2 = 2 freie Parameter
Welche Variablen(x1-x4) kann ich den als freie Parameter wählen?
Mfg
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Hallo,
> Argh, schon wieder einen falschen Wert... Danke für den
> Hinweis
>
> So die Endmatrix müsste jetzt so aussehen
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & -10 & 19 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wohin ist das - von -7 verschwunden?
5-14=-9, also bekommst du [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 & -10 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & \red{-}7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
>
> n-r=4-2 = 2 freie Parameter ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> Welche Variablen(x1-x4) kann ich den als freie Parameter
> wählen?
>
> Mfg
>
>
Wähle für die zweite Gleichung zB. [mm] $x_4=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Dann hast du [mm] $x_3=-7+7t$
[/mm]
Dann wähle für die erste Gleichung einen weiteren freien Parameter
Etwa [mm] $x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s\in \IR$
[/mm]
Wie sieht dann die Lösungsmenge aus und welche Struktur hat sie?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 29.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Mist wieder ein Fehler, ich hätte lieber die Matrix nochmal neu aufschreiben sollen ansat da drin rum zu radieren ...
So jedenfalls hier meiene strukturierte Lösung:
[mm] \vec{x}=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}=\pmat{ -9 -s +10t \\ s \\ -7 + t \\ t }= \pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 }+ t*\pmat{ 10 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+s*\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Was ist den hier die Lösungsmenge, müsste ich noch nie angeben?
Und vielen dank dir!!
Mfg
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> [mm]\vec{x}=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}=\pmat{ -9 -s +10t \\ s \\ -7 + t \\ t }= \pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 }+ t*\pmat{ 10 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+s*\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Was ist den hier die Lösungsmenge,
Hallo,
ich habe nichts nachgerechnet, ich verstehe Dich so, daß es Dir darum geht, wie Du die Lösungsmenge aufschreiben kannst.
Zunächst einmal ist nich festzustellen, daß alle Lösungen des Systems in einer Ebene durch den Punkt [mm] \pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 } [/mm] liegen. (Parameterdarstellung der Ebene)
Aufschreiben kannst Du z.B.
[mm] \IL=\{\pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 }+ t*\pmat{ 10 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+s*\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \in \IR^4 | s,t \in \IR}
[/mm]
oder
[mm] \IL=\{x \in \IR^4 | x=\pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 }+ t*\pmat{ 10 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+s*\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, s,t \in \IR}
[/mm]
oder
[mm] \IL=\pmat{ -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 } [/mm] + [mm] <\pmat{ 10 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }>
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Di 29.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Hi, achso ist das ok , vielen Dank
Mfg
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