L^1 Cauchy-Folge < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 30.05.2014 | | Autor: | U_Brehm |
| Aufgabe | Für k [mm] \in \IN_{>=1} [/mm] sei [mm] f_k:[0,1] \rightarrow \IR [/mm] definiert durch [mm] f_k(x):= \bruch{[kx]}{k}. [/mm] Sei f: [0,1]:=x.
Zeigen Sie, dass [mm] {f_k}_{k\in\IN} [/mm] eine zu f gehörige [mm] L^1-CF [/mm] von Treppenfunktionen ist. |
Meine Idee ist die Folgende:
Sei oBdA. l<k, l,k [mm] \in \IN. [/mm] Dann:
[mm] \integral_{[0,1]}{|f_k(x)-f_l(x)|dx}=\integral_{[0,1]}{|\bruch{[kx]}{k}-\bruch{[lx]}{l}|dx}=\integral_{[0,1]}{|\bruch{[kx]l-[lx]k}{kl}|dx}\le \integral_{[0,1]}{|\bruch{(kx+1)l-(lx+1)k}{kl}|dx}=\integral_{[0,1]}{|\bruch{(kxl+l)-(lxk+k)}{kl}|dx}=\integral_{[0,1]}{|\bruch{l-k}{kl}|dx} \le \integral_{[0,1]}{|\bruch{k}{kl}|dx}= \integral_{[0,1]}{|\bruch{1}{l}|dx}.
[/mm]
[mm] \integral_{[0,1]}{|\bruch{1}{l}|dx} [/mm] geht für k gegen [mm] \infty [/mm] (also beliebig große [mm] k\in \IN) [/mm] gegen [mm] \integral_{[0,1]}{0 dx}=0 \rightarrow [/mm] mit Sandwich folgt: [mm] \integral_{[0,1]}{|f_k(x)-f_l(x)|dx} [/mm] geht für k gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (Teilaufgabe a: [mm] f_k \rightarrow [/mm] f fast überall auf [0,1])
[mm] {f_k} [/mm] ist die zu f gehörige [mm] L^1-CF [/mm] auf [0,1].
Ist das okay?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 So 01.06.2014 | | Autor: | hamude |
Ich hänge an der gleichen Aufgabe, hat sonst noch jemand eine Idee?
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Hiho,
deine Idee ist in Ordnung, ein Schritt nur zu unbegründet:
> [mm] \integral_{[0,1]}{|\bruch{[kx]l-[lx]k}{kl}|dx}\le \integral_{[0,1]}{|\bruch{(kx+1)l-(lx+1)k}{kl}|dx}
[/mm]
Warum sollte die Ungleichung gelten?
Du vergrößerst den ersten Teil, aber auch den Teil den du abziehst. Warum sollte der hintere Teil nicht mehr größer werden als der hintere?
> [mm] \integral_{[0,1]}{|\bruch{1}{l}|dx} [/mm]
$= [mm] \bruch{1}{l}$
[/mm]
Es fehlt aber noch die Konvergenz gegen f.
Leichter wäre wohl zu zeigen, dass [mm] $f_k \to [/mm] f$ in [mm] L^1. [/mm] Daraus folgt ja auch direkt, dass [mm] f_k [/mm] eine [mm] L^1 [/mm] - CF ist, da muss man nichts mehr zeigen.
Gruß,
Gono.
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