Kurze Frage zu Homotopie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Angenommen, ich habe einen Weg in einem topologischen Raum X. Wenn ich mir nun einen Punkt des Weges nehme, dort eine Schleife ran klebe (die noch ganz in X liegt), ist dieser Weg noch homotop zum Ausgangsweg? Also der neue Weg soll dann eben bis zu der Klebestelle durchlaufen werden, dann wird die Schleife entlang gewandert und dann wird der Weg bis zum Ende verfolgt.
Wenn die Wege homotop sein sollten: Wie kann man das zeigen? Also man muss ja eine Homotopie finden, klar, aber kann man die einfach angeben? Oder kann man irgendwie anders begründen, dass die 2 Wege homotop sind?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
also wenn dein X einfach zusammenhängend ist, wird deine Aussage schon stimmen, ich könnte mich auch an einem Beweis versuchen, wenn dir das was bringt, aber falls du nur an der allgemeinen Aussage, mit einem allgemeinen topologischen Raum, interessiert bist, würde das ja nichts bringen. 
(wobei ich denke, dass die allgemeine Aussage nicht stimmt, aber da hab ich jetzt grad keine Idee, wie ich das beweisen würde. höchstens jetzt ganz unmathematisch: ist X nicht einfach zusammenhängend, gibts einen geschlossenen Weg der nicht Nullhomotop ist. Fall 1: ein Punkt [mm] x_0 [/mm] von dem Weg liegt auf deinem ursprünglichen Weg, dann kann man das gleich so verbinden, wie du oben schreibst und von der Vorstellung her ist klar, dass diese Zusammensetzung nicht homotop zum ursprünglichen Weg sein kann, da nach Voraussetzung keine Homotopie von dem [mm] x_0 [/mm] zur Restlichen Schleife existiert. Fall 2: das wird unschön.... aber irgendwie auch vorstellbar :-D)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sagen wir mal, dass X wegzusammenhängend ist. Würde das als Bedingung schon reichen, damit das stimmt?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
najaa, meiner Meinung nach nicht.... beachte Zeichnung: ![[]](/images/popup.gif) *klickkk*
das soll im [mm] \IR^2 [/mm] sein, die schraffierte Fläche ist wegzusammenhängend, aber du wirst nie ne Homptopie finden von dem grünen zum grünen+blauen Weg...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Ok, danke dir!
Dann müsste man also höchstens noch fordern, dass X keine "Löcher" hat.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
naja, "ohne Löcher" heisst für mich "einfach zusammenhängend". das heisst, dass jeder geschlossene Weg in $X$ (also ein Weg mit dem gleichen Anfangs- und Endpunkt $a$) homotop zum konstanten Weg [mm] \gamma(t)=a [/mm] ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hm ja, stimmt auch wieder.
Danke!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
gerne geschehen :P
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