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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Kurze Frage
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Kurze Frage: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 02.03.2011
Autor: SolRakt

Hallo, habe mal kurz eine Frage zu den komplexen Zahlen. Und zwar:

1+i sei die komplexe Zahl

Wie bringe ich das jetzt in die Form mit cos und sin? Ich weiß, dass der Betrag [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. Aber wie finde ich heraus, was im Argument des sin und cos steht? So muss das ja nachher aussehn:

[mm] 1+i=\wurzel{2}[cos(...)+i(sin(...))] [/mm]

Danke sehr. Gruß





        
Bezug
Kurze Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mi 02.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo SolRakt,
> Hallo, habe mal kurz eine Frage zu den komplexen Zahlen.
> Und zwar:
>  
> 1+i sei die komplexe Zahl
>  
> Wie bringe ich das jetzt in die Form mit cos und sin? Ich
> weiß, dass der Betrag [mm]\wurzel{2}[/mm] ist. Aber wie finde ich
> heraus, was im Argument des sin und cos steht? So muss das
> ja nachher aussehn:

Ganz allgemein eine Übersicht bei []Wikipedia. Gibt leider einige Fallunterscheidungen.

>  
> [mm]1+i=\wurzel{2}[cos(...)+i(sin(...))][/mm]

z=a+bi
Dann ist die Polarkoordinatendarstellung von z entweder
[mm] \qquad $\|z\|\left(\cos\varphi+\sin\varphi i\right)$ \qquad [/mm] oder [mm] $\|z\|e^{i\varphi}$ [/mm]
wobei [mm] \varphi=\arctan{\frac{a}{b}} [/mm] (speziell in diesem Fall a=1, b=1).
Dabei ist [mm] \arctan{\frac{1}{1}}=\frac{\pi}{4} [/mm]

>  
> Danke sehr. Gruß
>  
>

Gruß

Bezug
        
Bezug
Kurze Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Mi 02.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo SolRakt,

kurze Ergänzung:

bei derart "einfachen" komplexen Zahlen wie [mm]z=1+i[/mm] kann man das Argument ohne jegliche Rechnung und ohne dass ein Korrektor meckert, im Koordinatensystem ablesen.

Wenn du mal [mm]1+i[/mm] einzeichnest, so liegt das doch auf der 1.Winkelhalbierenden und im 1.Quadranten.

Und die schließt mit der x-Achse welchen Winkel ein? ...

Also [mm]\operatorname{arg}(1+i)=\frac{\pi}{4}[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Kurze Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Mi 02.03.2011
Autor: SolRakt

Ich danke euch beiden. :) Habt mir sehr geholfen ;)

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